Пространство сигналов

Для решения ряда задач теории связи целесообразно сигналы представить векторами или точками в некотором функциональном пространстве – пространстве сигналов.

Линейное пространство

Пространством сигналов называется множество сигналов, обладающих общим свойством и отличающихся друг от друга, каким либо параметром (расстоянием).

При анализе ансамблей сигналов, их преобразований в системах связи и методов приема в условиях воздействия помех широко используют понятия линейного пространства. Приведем необходимые и достаточные условия того, чтобы пространство линейным [6, 32]:

сумма любых двух элементов пространства, является элементом пространства, и выполняются равенства:   и  ;

существует нулевой элемент пространства, такой, что   для всех  ;

для любого элемента пространства существует противоположный элемент, такой, что  ;

новый элемент пространства можно получить, умножив элемент пространства на скаляр, при этом должны выполняться следующие равенства:  ,  ,  ,  .

К линейным пространствам можно отнести совокупность векторов в трехмерном пространстве, совокупность сигналов, имеющих конечную энергию, и т.п.

Спектральный анализ  основывается на классических рядах Фурье и преобразовании Фурье. Ряды Фурье используются для периодических сигналов и сигналов, заданных на конечном интервале времени   . В последнем случае сигнал может быть периодически продолжен с периодом  .

Преобразование Фурье применяется для непериодических сигналов, заданных на всей временной оси   .

Основная задача спектрального анализа заключается в определении частотного спектра сигнала (функции).  Любой сигнал может быть представлен своим частотным спектром.

Обычное  гармоническое колебание (гармонический сигнал)

характеризуется:  1. амплитудой A > 0,   2. частотой   ,  3. начальной фазой     .

Параметры    дают полное описание гармонического  сигнала в частотной области в виде спектра, представляющего значение амплитуды и начальной фазы в зависимости от частоты гармоники  f.  Задавая эти параметры, можно определить гармонический сигнал двумя способами:

  Как косинусоидальное колебание с амплитудой А, частотой f₀ и фазой θ,

    Как сумму двух комплексных экспонент (гармоник), каждая с амплитудой  . При этом одна составляющая имеет частоту   и фазу  , другая – отрицательную частоту   и отрицательную фазу  .

Оба представления дают одинаковый результат, но во многих случаях комплексная форма оказывается  более эффективной для инженерных задач.

Понятие о прямом и обратном Фурье-преобразовании (интеграл Фурье).

Обратное преобразование. Так как форма базисных функций (a,b,t) зафиксирована, то вся информация о сигнале в (1.2.1) переносится на значения функции С(a,b). Точность обратного интегрального вейвлет-преобразования зависит от выбора базисного вейвлета и способа построения базиса, т.е. от значений базисных параметров a, b. Строго теоретически вейвлет может считаться базисной функцией L²(R) только в случае его ортонормированности. Для практических целей непрерывного преобразования часто бывает вполне достаточна устойчивость и "приблизительность" ортогональности системы разложения функций. Под устойчивостью понимается достаточно точная реконструкция произвольных сигналов. Для ортонормированных вейвлетов обратное вейвлет-преобразование записывается с помощью того же базиса, что и прямое:

s(t) = (1/C_) (1/a²) С(a,b) (a,b,t) da db. (1.2.3)

где C_ - нормализующий коэффициент:

C_ = (|()|² /) d < . (1.2.4)

Условие конечности C_ ограничивает класс функций, которые можно использовать в качестве вейвлетов. В частности, при ω=0, для обеспечения сходимости интеграла (1.2.4) в нуле, значение () должно быть равно нулю. Это обеспечивает условие компактности фурье-образа вейвлета с локализацией вокруг некоторой частоты _o – средней частоты вейвлетной функции. Следовательно, функция (t) должна иметь нулевое среднее значение по области его определения (интеграл функции по аргументу должен быть нулевым):

(t) dt =0.

Однако это означает, что не для всех сигналов возможна их точная реконструкция вейвлетом (t), т.к. при нулевом первом моменте вейвлета коэффициент передачи постоянной составляющей сигнала в преобразовании (1.2.3) равен нулю. Условия точной реконструкции сигналов будут рассмотрены при описании кратномасштабного анализа.

Кроме того, даже при выполнении условия (1.2.4) далеко не все типы вейвлетов могут гарантировать реконструкцию сигналов, как таковую. Однако и такие вейвлеты могут быть полезны для анализа особенностей сигналов, как дополнительного метода к другим методам анализа и обработки данных. В общем случае, при отсутствии строгой ортогональности вейвлетной функции (1.2.1), для обратного преобразования применяется выражение:

s(t) = (1/C_) (1/a²) С(a,b) ^#(a,b,t) da db, (1.2.3')

где индексом ^#(a,b,t) обозначен ортогональный "двойник" базиса (a,b,t), о котором будет изложено ниже.

Рис. 1.2.3.

Таким образом, непрерывное вейвлет-преобразование представляет собой разложение сигнала по всем возможным сдвигам и сжатиям/растяжениям некоторой локализованной финитной функции - вейвлета. При этом переменная 'a' определяет масштаб вейвлета и эквивалентна частоте в преобразованиях Фурье, а переменная 'b' – сдвиг вейвлета по сигналу от начальной точки в области его определения, шкала которого повторяет временную шкалу анализируемого сигнала. Вейвлетный анализ является частотно-пространственным анализом сигналов.

В качестве примера рассмотрим вейвлет-преобразование чистого гармонического сигнала s(t), приведенного на рис. 1.2.3. На этом же рисунке ниже приведены вейвлеты _a(t) симметричного типа разных масштабов.

Скалярное произведение (1.2.1) "просмотра" сигнала вейвлетом определенного масштаба 'a' может быть записано в следующей форме:

C_a(b)= s(t), _a(t+b) = s(t)_a(t+b) dt. (1.2.5)

Но выражение (1.2.5) эквивалентно взаимной корреляционной функции R_a(b) сигналов s(t) и _а(t). Если сигнал s(t) представляет собой гармонику, а второй сигнал симметричен, задан на компактном носителе и имеет нулевое среднее значение, то, как известно, форма взаимной корреляционной функции таких сигналов также является центрированным гармоническим сигналом. В частотной области скалярное произведение двух функций отображается произведением Фурье-образов этих функций, которые приведены на рисунке в правом столбце спектров. Масштабы спектров _a() и R_a() для наглядности сопоставления нормированы к спектру s(t). Максимальная амплитуда гармоники R_а(b) будет наблюдаться при совпадении средней частоты локализации вейвлета _а(t) определенного масштаба 'а' в частотной области с частотой сигнала s(t), что и можно видеть на рис. 1.2.3 для функции R_a(b) при масштабе вейвлета a=20. Результирующий вейвлетный спектр непрерывного вейвлет-преобразования гармоники приведен на левом нижнем графике и показывает точное положение на временной оси 'b' максимумов и минимумов гармонического сигнала.

2. Случайные сигналы. Стационарный (гауссовский) случайный процесс. Функция корреляции и энергетический спектр.

СТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС - случайный процесс  , определённый для всех моментов времени , стохастич. характеристики к-рого не зависят от выбора нач. момента отсчёта (т. е. не меняются при замене  Более точно это означает, что для любого набора моментов времени t₁,...,t_n совместная ф-ция распределения вероятностей значений С. с. п. , ..., в эти моменты времени 

(  - вероятностное пространство, на к-ром определены все случайные величины ) совпадает с ф-цией распределения  для значений процесса в моменты  (стационарность в узком смысле). Иногда стационарность процесса  понимают более широко, а именно: процесс наз. стационарным в широком смысле, если его ср. значение  не зависит от t, a ковариация  имеет вид: 

где  - положительно определённая ф-ция.

Гауссовский случайный процесс, стационарный в широком смысле, стационарен и в обычном (узком) смысле. Марковский случайный процесс с переходной ф-цией  

(где Р (А/В) - условная вероятность события А при условии, что произошло событие В)является стационарным в том, и только в том случае, когда распределения F_t значений процесса  в моменты времени t одинаковы для всех t и для всех t₁ и t₂переходная ф-ция 

т. е. зависит лишь от длительности промежутка времени между t₁ и t₂.

• Функция корреляции и энергетический спектр.

Кроме энергетического спектра процесса, мы знаем еще одну характеристику, связанную со скоростью его протекания,—функцию корреляции R(t). Естественно предположить, что G(w)и R(t) должны быть связаны.

Связь между энергетическим спектром и функцией корреляции действительно существует и определяется следующими двумя соотношениями: 

Эти соотношения, справедливость которых применительно к стационарным эргодическим процессам доказана А. Я. Хинчиным, известны в математике и радиотехнике под названием пара преобразований Фурье.

Преобразование (157) называется прямым, (158) - обратным. Пусть известна функция корреляции R (t). Тогда путем подстановки R (t) в (157) можем найти спектр процесса G(w). Само понятие энергетического спектра процесса G(w) иногда определяют формально как прямое преобразование Фурье от функции корреляции R (t). Если известен спектр процессаG(w), можно, наоборот, найти функцию корреляции, пользуясь формулой (158).

Известно, что соотношения, подобные (157) и (158), используются при гармоническом анализе неслучайных (детерминированных) функций времени. Так, с помощью прямого преобразования Фурье путем подстановки в (157) вместо R(t) функции времени f(t) можно определить спектр функции  f(t), например импульса напряжения той или иной формы. Обратное преобразование дает возможность при этом по известному спектру восстановить

форму импульса.

  Применительно .к случайным процессам такое соотношение, как видно из (157), существует не между самим процессом и его спектром, а 1между функцией корреляции процесса и энергетическим спектром. Поэтому по энергетическому спектру случайного процесса нельзя восстановить его форму (что понятно: она ведь случайная), то есть указать, как он протекал во времени, а можно установить только функцию корреляции процесса. Заметим, что различные по характеру протекания во времени процессы могут иметь одинаковые функцию корреляции и энергетический спектр.  В практических  случаях часто бывает более доступным на основании соображений вероятностного характера найти сначала функцию корреляции R(t), по которой определяется спектр процесса.

3. Вейвлет-анализ сигналов. Определения и основные свойства вейвлет-преобразования. Базисные и «дочерние» функции вейвлет-преобразования. Примеры использования вейвлет-преобразования.