1.2. Дифференциальные уравнения геометрии, биологии, химии
При решении геометрических задач с помощью дифференциальных уравнений рекомендуется следующая последовательность действий:
сделать чертёж и ввести обозначения;
отделить условия. Имеющие место в произвольной точке искомой линии, от условий, выполняющихся лишь в отдельных точках;
выразить все упомянутые в задаче величины через координаты произвольной точки и через значение производной в этой точке, учитывая геометрический смысл производной;
по условию задачи составить дифференциальное уравнение;
найти общее решение этого уравнения и получить из него с помощью начальных условий уравнение искомой линии.
Задача 1.6. Определить поверхность,
по которой необходимо отшлифовать
зеркало прожектора, чтобы все лучи,
выходящие из источника света, помещенного
в точке
на оси вращения, отражались бы зеркалом
параллельно этой оси (Рисунок 1.4.).
Рисунок 1.4. Отражение лучей от зеркала прожектора
Решение. Возьмём меридианное сечение
поверхность вращения. Выберем начало
координат в точке
,
ось абсцисс направим по оси вращения
и обозначим угол между положительным
направлением оси абсцисс и касательной
к искомой кривой, проведённой в точке
,
через
.
Тогда по условию задачи имеем:
.
Но
(угол падения равен углу отражения),
поэтому
.
Таким образом, треугольник OAM -
равнобедренный и
.
Из чертежа видно, что
.
Поскольку
,
то
.
С другой стороны,
.
Получаем дифференциальное уравнение:
,
Запишем его в форме:
.
Получили однородное дифференциальное уравнение. После подстановки
,
,
получаем уравнение с разделяющимися переменными:
.
Преобразования дают:
,
,
,
,
Интегрируя, находим:
,
,
.
Запишем полученное уравнение в виде:
,
,
и заменим
на
.
Получаем
,
или, приводя к каноническому виду
:
.
В результате, мы получили семейство
парабол, симметричных относительно
оси абсцисс, с параметром
и с вершиной, находящейся в точке
,
причём фокусы всех этих парабол находятся
в точке
.
Ответ. Искомой поверхностью является параболоид вращения, причём
источник света находится в фокусе вращающейся параболы.
В некоторых случаях решение задач приводит к уравнениям, содержащим искомую функцию под знаком интеграла, т. е. Так называемым интегральным уравнениям. Такие уравнения после дифференцирования обеих частей иногда сводятся к дифференциальным уравнениям.
З
адача
1.7. Найти кривую, обладающую следующим
свойством: для любой точки
центр тяжести криволинейной трапеции,
ограниченной осями координат, дугой
этой кривой и отрезком, соединяющим
точку
с её проекцией на ось абсцисс (Рисунок
1.5.), равен
абсциссы этой точки.
Рисунок 1.5. Графическое изображение задачи 1.7
Решение. Из теории интегрального исчисления известно, что абсцисса центра тяжести данной криволинейной трапеции выражается формулой:
,
где
– переменная интегрирования, а
– уравнение искомой кривой.
По условию задачи имеем уравнение
.
Это уравнение является интегральным, так как искомая функция в нём содержится под знаком интеграла. Перепишем это уравнение в виде
и продифференцируем обе части неравенства по . Известно, что производная интеграла по верхнему пределу интегрирования равна соответствующему значению подынтегральной функции, откуда:
,
.
Это уравнение так же является интегральным. Приведём подобные и вторично продифференцируем:
,
,
.
Получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
.
Его общее решение:
.
Заметим, что вообще, любое дифференциальное
уравнение
с начальными условиями
равносильно интегральному уравнению
Ответ. Кривая, для любой точки которой
центр тяжести криволинейной трапеции,
ограниченной осями координат, дугой
этой кривой и отрезком, соединяющим
точку с её проекцией на ось абсцисс,
равен
абсциссы этой точки, является любой
параболой из семейства
.
Живой организм представляет собой слишком сложную систему, чтобы его можно было рассматривать сразу во всех подробностях; поэтому исследователь всегда выбирает упрощённую точку зрения, подходящую для решения конкретно поставленной задачи. Это сознательное упрощение реальных биосистем и лежит в основе метода моделирования.
Обычно, модели, используемые в биологии, делят на три категории, среди которых находятся математические. Они представляют собой системы математических выражений – формул, функций, уравнений и т. д., описывающих те или иные свойства изучаемого объекта, явления, процесса. При создании математической модели используют физические закономерности, выявленные при экспериментальном изучении объекта моделирования. Так, например, математическая модель кровообращения основано на законах гидродинамики.
Задача 1.8. Определить во сколько раз увеличится количество бактерий за 9 часов, если в течение 3 часов их количество изменилось от 100 да 200.
Решение. Опытным путём установлено, что скорость размножения бактерий, если для них имеется достаточный запас пищи и созданы другие необходимые внешние условия (например, отсутствие подавления бактерий другими видами), пропорциональна их количеству.
Пусть
– количество бактерий, имеющееся в
данный момент, тогда скорость изменения
их количества:
.
Так как скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству, то существует такая , что:
.
Разделяем в дифференциальном уравнении переменные:
.
Интегрируя, получаем:
,
,
что после потенцирования даёт:
.
Для нахождения
используем начальное условие: при
.
Имеем:
,
,
и, значит,
.
Коэффициент
находим из условия: при
.
Имеем:
,
следовательно,
.
Искомая функция:
.
При
.
Ответ. Количество бактерий за 9 часов увеличится в 8 раз.
Задача 1.9. Найти зависимость между площадью листа дерева, имеющего форму круга от времени, если в 6 часов утра эта площадь равнялась 1 600 см2, а в 18 часов того же дня – 2 500 см2.
Решение. Площадь листа имеет форму круга, т. е. пропорциональна длине окружности листа. Скорость увеличения площади листа пропорциональна, к тому же, количеству солнечного света, падающего на него.
Количество солнечного света, пропорционально, в свою очередь, площади листа и косинусу угла между направлением лучей и вертикально к листу.
Примем угол между направлением луча Солнца и вертикалью в 6 часов утра и в 18 часов равен 90°, а в полдень – 0°.
Пусть – время, отсчитываемое от полуночи. Если – переменная площадь листа, то скорость роста листа:
,
где
– длина окружности листа, Q -
количество солнечного света,
– коэффициент пропорциональности.
Площадь листа
,
откуда:
.
Тогда:
. (1.5)
По условию
, (1.6)
где
– угол между направлением лучей и
вертикалью,
– коэффициент пропорциональности.
Угол – линейно возрастающая функция аргумента :
.
Параметры
и
находим из дополнительных условий:
при
,
при
,
при
.
Из двух последних условий имеем:
Решая эту систему, получаем:
,
.
Следовательно,
.
Подставляя значение в (1.6), имеем:
.
Из уравнения (1.5) получаем:
.
Обозначим
.
После разделения переменных, имеем:
.
Интегрируя, получаем:
. (1.7)
Из начальных условий (при
,
при
)
имеем:
Решая эту систему, получим:
,
.
Подставляя эти значения в (1.7), получаем:
,
откуда:
. (1.8)
Ответ. Зависимость между площадью листа дерева, имеющего форму круга от времени выражается формулой (1.8).
Задача 1.10. Найти зависимость между высотой дерева и временем его роста.
Решение. Известно, что даже в самых благоприятных условиях все деревья независимо от породы растут сначала быстро, а затем их рост замедляется, пока, наконец, совсем не прекращается.
С ростом кроны, с одной стороны, увеличивается приток энергии благодаря фотосинтезу, а с другой – увеличиваются трудности, связанные, например, с транспортировкой питательных веществ, и, следовательно, увеличивается расход энергии на подобные нужды. В конце концов, притока энергии уже не хватает для покрытия расходов, и дерево перестаёт расти.
На основе этих соображений можно сформулировать основные предположения, на основе которых будет основано составление уравнения энергетического баланса, т. е. построена математическая модель. Зрелое растение в процессе роста сохраняет геометрическое подобие, т. е. у зрелого растения с ростом не меняются отношения геометрических размеров, например, отношение высоты к диаметру и т. п. Свободную энергию (или активное вещество) дерево получает только путём фотосинтеза.
Свободная энергия расходуется на фотосинтез, на строительство живой ткани (рост) и на подъём раствора из почвы.
В среднем за большие отрезки времени растение получает постоянное количество света на единицу поверхности и может поглощать необходимые вещества из неограниченного запаса.
Составим уравнение энергетического баланса.
Обозначим за
– линейный размер растения, тогда
высота растения –
,
площадь поверхности листьев –
,
объём растения будет выражаться
величиной –
,
причём
изменяется со временем:
.
При этом пусть
.
Попытаемся выразить все величины,
входящие в уравнение энергетического
баланса, через
.
Найдём, сначала, выражение для поступающей
свободной энергии
.
Эта энергия образуется благодаря
фотосинтезу в зелёной части растения,
и её тем больше, чем больше поверхность
зелёной части. Таким образом, можно
считать, что
пропорциональна
:
,
где
– коэффициент пропорциональности,
зависящий от размеров и формы листьев
и от интенсивности фотосинтеза. Других
источников энергии в силу наших
предположений нет.
Проследим, теперь, за расходом энергии.
Прежде всего, энергия тратится на нужды
самого процесса фотосинтеза. Этот
расход также пропорционален
,
и мы можем записать его в виде
,
где
– некий коэффициент пропорциональности.
Далее энергия расходуется на
транспортировку питательного раствора
во все части растения. Ясно, что этот
расход будет тем больше, чем больше
путей транспортировки, т.е. чем больше
объём растения. Кроме того, этот расход
связан с преодолением силы тяжести и,
следовательно, будет тем больше, чем
на большую высоту приходится поднимать
питательные вещества. Таким образом,
этот расход пропорционален и
,
и
т.е. равен
.
Наконец, энергия расходуется на
увеличение массы растения. Этот расход
пропорционален скорости роста, т. е.
производной массы
(
– средняя плотность растения,
– объём) по времени.
Согласно закону сохранения энергии, расход энергии должен быть равен её притоку:
или
.
Это и есть искомое балансное соотношение.
Разделим обе части уравнения на
и обозначим
,
,
Получаем:
,
,
.
Перепишем дифференциальное уравнение в виде
,
Тогда
,
Заметим, что производная
,
так как рост дерева увеличивается.
Значит,
,
и, следовательно,
,
т. е. можно воспользоваться методом
непосредственного интегрирования.
(для
справедливо равенство:
)
Тогда, имеем:
.
Учтём начальное условие
,
т. е.
и, значит:
.
Разрешая это уравнение относительно , имеем окончательно:
. (1.9)
Полученная формула (1.9) даёт кривую
роста дерева. Если известны
и
(эти величины зависят от породы дерева),
то можно подсчитать средний рост дерева
данной породы в зависимости от возраста.
Ответ. Зависимость роста дерева от времени его роста выражается формулой (1.9).
Многие процессы химической технологии описываются дифференциальными уравнениями – начиная от кинетических исследований и заканчивая химическими технологическими процессами
Задача 1.11. Емкость первоначально
содержит
кг соли, растворенной в
воды. Если чистая вода вливается в
емкость со скоростью
в минуту и равномерно перемешивается
с раствором, а образовавшийся раствор
вытекает из емкости с такой же скоростью,
то сколько соли окажется в емкости в
любой последующий момент времени? Если
– количество соли (в кг) в емкости в
момент времени
,
то в любой момент времени
в
раствора в емкости содержится
кг соли; поэтому количество соли убывает
со скоростью
кг/мин, или
.
Задача 1.12. Вещество
превращается в вещество
.
Определить первоначальное количество
вещества
и время, когда останется половина этого
вещества, если спустя 1 час после начала
реакции осталось 44,8 г вещества
.
А после 3 часов 11,2 г.
Решение. Здесь имеет место реакция
первого порядка,
.
Обозначим через
– первоначальное количество вещества
,
через
– количество вещества, прореагировавшего
за время
от начала реакции, тогда
дифференциальное уравнение имеет вид:
Разделяя в уравнении переменные и, затем, интегрируя, получаем:
,
,
.
Понятно, что при
,
имеем
,
и, значит:
,
,
,
. (1.10)
Используя дополнительные условия (при
,
при
),
имеем:
,
,
или
,
,
,
.
Найдём искомое время распада половины этого вещества. Имеем:
,
,
.
Такой же результат можно было получить
сразу после определения
(г), заметив, что
(г) – половина первоначального количества
вещества, оставшаяся спустя 1 час после
начала реакции (по условию).
Ответ. Первоначальное количество вещества равно 86,9 г, время, когда останется половина этого вещества – 1 час.
Задача 1.13. В реакции омыления
уксусноэтилового эфира гидроксидом
натрия первоначальные концентрации
указанных веществ
и
соответственно. Спустя 23 минуты
концентрация уксусноэтилового эфира
уменьшилась на 10%. За какое время она
уменьшится на 15%?
Решение.
СН3СООС2Н5 |
+ |
NaOH |
→ |
СН3СООNa |
+ |
С2Н5OH |
Уксусноэтиловый эфир |
|
Гидроксид натрия |
|
Ацетат натрия |
|
Этиловый спирт |
Здесь имеет место уравнение второго
порядка,
.
Обозначим через
– первоначальное количество
уксусноэтилового эфира, через
– первоначальное количество гидроксида
натрия, через
– количество и одного, и другого
вещества, прореагировавшего за время
от начала реакции (
),
тогда дифференциальное уравнение
имеет вид:
Разделяя в уравнении переменные и, затем, интегрируя, получаем:
,
,
.
Понятно, что при , имеем
,
и, значит:
,
.
Коэффициент пропорциональности k
определяем из дополнительного условия:
при
мин
.
Имеем:
,
.
Найдём искомое время. Имеем:
,
.
(мин).
Ответ. Концентрация уксусноэтилового эфира уменьшится на 15% за 47, 9 минут.
Аналогично рассматриваются и реакции более высоких порядков.