Второй семестр отсюда.

Лекция 12.

Теорема 1. Теорема о единственности разложения по базису.

В линейном пространстве разложение любого элемента по данному базису единственно.

Доказательство:

Пусть {b₁, b₂,… , b_n} – базис. Допустим, что x имеет два разложения в этом базисе:

x=x₁b₁+x₂b₂+…+x_nb_n

x=x’₁b₁+x’₂b₂+…+x’_nb_n

Тогда вычтем из первой строки вторую

0=x-x=(x₁-x’₁)b₁+(x₂-x’₂)b₂+…+(x_n-x’_n)b_n

Так как базис – линейно независимая система, то её линейная комбинация равна 0, только если эта линейная комбинация тривиальна, то есть x_i-x’_i=0 для  i  x_i=x’_i для  i.

Т о есть эти разложения совпадают.

О	Коэффициенты разложения вектора по базису линейного пространства, записанные в соответствии с порядком векторов в базисе, называются координатами.

Примеры:

1) рассмотрим стандартный базис в трёхмерном пространстве

е₁=(1, 0, 0), е₂=(0, 1, 0), е₃=(0, 0, 1)

если а=2е₁+3е₂+4е₃, то в координатной форме пишут а=(2, 3, 4)

2 )в пространстве матриц размерности 22

с базисом  , , , }

р ассмотрим элемент . Его координаты (2, 3, 4, 5).

При сложении двух элементов складываются их соответствующие координаты, при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число.

Переход от одного базиса к другому

в линейном пространстве.

Рассмотрим n–мерное линейное пространство и в нём два базиса b=(b₁, b₂, … b_n) и c=(c₁, c₂, …, c_n).

Так как в линейном пространстве любой элемент можно выразить через элементы базиса, то, следовательно, можно все c_j (как элементы пространства) выразить через базис b.

c_j= _1j b₁+ _2jb₂+ …+ _njb_n , j=1 n

c=bU

c и b строки из базисных элементов,

U -матрица перехода от базиса b к базису c.

U = - матрица перехода от b к c.

Матрица перехода состоит из координат векторов нового базиса в старом, записанных по столбцам.

Теорема 2

Матрица перехода всегда невырожденная и, следовательно, имеет обратную.

Доказательство:

в се c линейно независимы  столбцы линейно независимы  её ранг равен n  она невырождена.

Если есть три базиса b, c и d в некотором пространстве и c=bU, d=cV, тогда d=cV=(bU)V=b(UV).

UV - матрица перехода от b к d .

Преобразование координат при переходе к новому базису

b - старый базис

c - новый базис

U = - матрица перехода от b к c.

- координаты вектора x в базисе b.

-координаты вектора x в базисе c.

x=x’₁c₁+x’₂c₂+…+x’_nc_n= x’₁( ₁₁b₁+ ₂₁b₂+…+ _n1b_n)+

+x’₂(₁₂b₁+ ₂₂b₂+… _nnb_n)+…+x’_n(_1nb₁+ _2nb₂+…+ _nnb_n)=

=(x’₁₁₁+x’₂₁₂+…+x’_n¹_1n)b₁+

x₁

+( x’₁₂₁+x’₂₂₂+…+x’_n¹_2n ) b₂+…+

x₂

…

+( x’₁_n1+x’₂_n2+…+x’_n¹_nn ) b_n=

x_n

=x₁b₁+x₂b₂+…+x_nb_n

= U

Пример:

b: b₁=(1;1;0), b₂=(1,0,1), b₃=(0;1;1) – старый базис,

c: c₁=(1;1;1), c₂=(1;2;0), c₃=(-1;0;0) –новый базис,

a_c=(1.5; -2; 3),

найти a_b

найдём U - матрицу перехода от базиса b к базису c.

c=bU

( c₁, c₂, c₃)=(b₁, b₂, b₃)

сначала составим систему уравнений для c₁

решая эту систему получим

₁₁=0.5, ₂₁=0.5, ₃₁=0.5,

теперь составим систему для c₂

получим

₁₂=0.5, ₂₂=-0.5, ₃₂=0.5,

аналогично для вектора с₃

₁₃=-0.5, ₂₃=-0.5, ₃₃=0.5

итак, матрица перехода от базиса b к базису с

U=

Чтобы получить координаты a в базисе b (a_b) надо U умножить на a_c

U= =

Интересно рассмотреть вектор c₁ в базисе b

=

Проверим,

0.5 +0.5 +0.5 = - это действительно вектор с₁

Вещественное евклидово пространство.

Линейное пространство называется евклидовым, если в нём задано скалярное умножение, т.е. закон по которому каждой паре элементов x и y сопоставляется вещественное число (x,y) и при этом выполняются следующие условия: 1) (x, y) = (y, x) 2) (x+z, y) = (x, y) + (z, y) 3)( x, y) =  (x, y) 4) (x, x)0, (x, x) = 0  x=0

Примеры:

1) линейное арифметическое пространство является евклидовым Rⁿ, (x, y)=

2) C[0, 1} (f(x), g(x))=

Лекция 13

Теорема 3 Неравенство Коши-Буняковского.

(x, y) 

Доказательство: при x=0 очевидно,

( x-y, x-y)  0

 (x, x-y)-(y, x-y)  0

²(x, x)- (x, y)- (x, y)+(y, y)  0

²(x, x) - 2(x, y) + (y, y)  0 - это квадратный трехчлен относительно . Найдём дискриминант по сокращённой формуле d=(x, y)² –(x, y)(y, y)

Т ак как трёхчлен  0, d 0  (x, y)² –(x, y)(y, y)  0

(x, y) 

Обобщением понятия длины вектора в линейном пространстве является норма.

Норма это функция, которая каждому элементу ставит в соответствие действительное число, удовлетворяющее следующим условиям: 0 для x; =0 x=0 2) =|| 3)  + - неравенство треугольника.

Линейное пространство, в котором задана норма, называется нормированным.

Линейные пространства

Евклидовы пространства Нормированные пространства

Теорема 4 Евклидова норма.

В евклидовом пространстве можно задать норму следующим образом: =

Доказательство:

1. (x, x) 0  всегда определено и  0,

причём ((x, x)=0 x=0 )( =0 x=0)

2. (x, x)= (x, x)= ² (x, x)  = =|| = ||

3. ²=(x+y, x+y)=(x, x)+2(x, y)+(y, y)=

= ²+ ²+2(x, y) ²+ ²+2 =( + )²   +

Множество элементов с единичной нормой называется единичной сферой.

Норма может вводиться не только через скалярное произведение, но и другими способами.

Примеры:

1. = + +…+ - сумма модулей координат. Эта норма называется l₁-нормой.

2. = . Эта норма называется l_-нормой.

В ид единичной сферы в R² :

Евклидова l₁-норма l_-норма

норма.