Лабораторная работа №6 Исследование случайных процессов типа «гибель-размножение»

Теоретические сведения. Случайные процессы типа «гибель-размножение» являются частным случаем марковских СП с конечным множеством состояний и непрерывным временем. Система типа «гибель-размножение» имеют определенную характерную структуру графа состояний и переходов , в котором действуют две противоположные тенденции, два противоположных потока событий: один стремится перевести систему в крайнее левое состояние, а другой – в крайнее правое(рис.):

В общем случае интенсивности потоков _j, _j зависят от состояния, в котором находится система. Предполагается, что все потоки событий в системе _j, _j – простейшие и плотность распределения вероятности временного интервала между событиями подчиняется показательному закону. В этом случае процесс смены состояний в системе марковский и вероятности состояний системы в предельном стационарном режиме при заданных интенсивностях могут быть рассчитаны по известным формулам:

где _ij – интенсивности потоков событий, переводящих систему из i-го в j-е состояние.

Многие реальные объекты (так называемые системы массового обслуживания) хорошо описываются моделью «гибель-размножение» следующей структуры:

В этом частном случае интенсивности потоков событий равны:

_j =  - const

_j = j

Для такой системы вероятности состояний могут быть непосредственно рассчитаны по формулам Эрланга:

(1)

где .

Постановка задачи. Информационная система имеет N каналов обслуживания заявок.  - интенсивность потока заявок в систему,  - интенсивность обслуживания заявок одним каналом. Заявка, заставшая все N каналов занятыми, покидает систему (отказ в обслуживании). Считая, что все потоки событий в системе простейшие, рассчитать оптимальное количество каналов обслуживания, при котором достигается минимум критерия:

(2)

₁, ₂ ₃ > 0 – весовые коэффициенты.

I₁ = P₀ – вероятность простоя системы;

I₂ = P_N – вероятность отказа в обслуживании;

– ­среднее число свободных каналов.

Методика решения задачи.

1. Принять N = 2 и рассчитать вероятности состояний системы P_j по формуле Эрланга (1).

2. Для найденных P_j по формуле (2) вычислить значение критерия I(N).

3. Увеличивая N на единицу, повторять п.1, 2 до достижения экстремума-минимума функции I(N).

Указание. Параметры задачи , , ₁, ₂, ₃ задаются преподавателем.

Пример:

Заданы следующие параметры:

λ = 6; μ = 2; α₁ = 0,3; α₂ = 0,4; α₃ = 0,3.

1. При N = 2 рассчитаем вероятности состояний системы:

где

2. Вычислим значение критерия I(N):

Увеличиваем N и находим новые значения критерия до достижения экстремума-минимума функции I(N):