Властивості дій над матрицями

1. ,

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. ,

11.

12.

13.

14.

Деякі специфічні властивості операції множення матриць

1. Якщо добуток АВ існує, то добуток ВА може не існувати.

2. Переставна властивість справджується не завжди. Якщо , то матриці називають переставними ( комутативними ).

3.З рівності АВ=0 не випливає , що А=0 або В=0.

1.1.3. Визначники другого та третього порядків

Кожній квадратній матриці можна поставити у відповідність певне число, яке називається визначником (детермінантом) матриці. Визначник матриці А позначається , . Визначники позначають також літерою грецького алфавіту .

- визначник квадратної матриці А п-го порядку.

Визначником другого порядку називається число, яке ви – значається рівністю

де - деякі числа ( вираз), які називаються елементами визначника.

Іншими словами, визначник другого порядку дорівнює різниці добутків головної та побічної діагоналей.

Приклад 1.3. Обчислити визначник

Розв’язання

Визначником третього порядку називається число, що Визначається рівністю

Правило обчислення визначників третього порядку правилом трикутників або правилом Саррюса.

Приклад 1.4.

1.1.4. Основні властивості визначників

1. Визначник не зміниться, якщо рядки поміняти на відповідні стовпці, а стовпці – на рядки

2. При перестановці двох рядків ( або стовпців) абсолютна величина визначника не зміниться, а знак зміниться на протилежний.

, то

3. Якщо всі елементи довільного рядка (або стовпця) дорівнюють нулю, то визначник також дорівнює нулю.

4. Визначник з двома однаковими рядками ( або стовпцями) дорівнює нулю.

5. Якщо всі елементи довільного рядка (або стовпця) мають спільний множник, то його можна винести за знак визначника.

6. Визначник, у якого всі елементи одного рядка ( або стовпця) пропорційні відповідним елементам іншого рядка ( або стовпця), дорівнює нулю:

7. Якщо всі елементи деякого рядка ( або стовпця) визначника є сумою двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких елементи згаданого рядка ( стовпця) замінені відповідними доданками.

.

8. Визначник не зміниться, якщо до всіх елементів довільного рядка ( або стовпця) додати елементи іншого рядка ( або стовпця), помножені на довільний множник, відмінний від нуля.

1.1.5. Визначники п-го порядку. Мінори та алгебраїчні доповнення

Визначник п-го порядку має вигляд

Мінором елемента визначника п-го порядку називається визначник (п-1)-го порядку, утворений з попереднього викреслюванням і-го рядка і j-го стовпця.

Приклад 1.5. Знайти мінор елемента визначника

Розв’язання

Алгебраїчним доповненням елемента визначника п-го порядку називається мінор елемента, взятий із знаком «+», якщо ( - число парне й із знаком «-», якщо ( - число непарне, тобто

Приклад 1.6. Знайти алгебраїчні доповнення елементів визначника

.

Розв’язання

,

Теорема Лапласа ( розкладання визначника за елементами рядка чи стовпця). Визначник п-го порядку дорівнює сумі добутків елементів деякого рядка чи стовпця на їх відповідні алгебраїчні доповнення.

Приклад 1.7. Обчислити визначник .

Розв’язання

Виберемо другий рядок, оскільки два його елементи дорівнюють нулю.

Зауваження. Визначник трикутного вигляду дорівнює добутку елементів головної діагоналі.