Аналитическая геометрия на плоскости. Кривые второго порядка.

Задача 1

Составить канонические уравнения: а) эллипса; б) гиперболы; в) параболы (А,В – точки, лежащие на кривой, F – фокус, а – большая полуось,  – эксцентриситет, – уравнения асимптот гиперболы, D – директриса кривой, 2с – фокусное расстояние).

1. а) b=15, F(-10,0); б) а=13, =14/13; в) D: х = - 4

2. а) b=2, F( ,0); б) а=7, = /7; в) D: х = 5

3. а) А(3,0), ; б) k=2/3, =5/4; в) D: y = - 2

4. а) , A(-5,0) ; б) ; в) D: y = 1

5. а) 2a=22, ; б) k=2/3, 2c= ; в) ось симметрии Ох и А(27,9)

6. а) b= , ; б) k=3/4, 2а=16; в) ось симметрии Ох и А(4,-8)

7. а) а=15, F(3,0); б) b= , F(-11,0); в) D: х = -2

8. а) b=4, F(9,0); б) а=5, =7/5; в) D: х = 6

9. а) А(0, ), ; б) k= /10, =11/10; в) D: y = - 4

10. а) , A(8,0) ; б) ; в) D: y = 4

11. а) 2a=24, ; б) k= , 2c= ; в) ось симметрии Ох и А(-7,-7)

12. а) b=2, ; б) k=12/13, 2а=26; в) ось симметрии Ох и А(-5,15)

13. а) а=6, F(-4,0); б) b=3, F(7,0); в) D: х = -7

14. а) b=7, F(5,0); б) а=11, =12/11; в) D: х = 10

15. а) А( ,1/3), ; б) k=1/2, = /2; в) D: y = - 1

16. а) , A(0,8) ; б) ; в) D: y = 9

17. а) 2a=22, ; б) k= , 2c=12; в) ось симметрии Ох и А(-7,5)

18. а) b=5, ; б) k=1/3, 2а=6; в) ось симметрии Ох и А(-9,6)

19. а) а=9, F(7,0); б) b=6, F(12,0); в) D: х = -1/4

20. а) b=5, F(-10,0); б) а=9, =4/3; в) D: х = 12

21. а) А(0,-2), ; б) k= /9, =11/9; в) D: y = 5

22. а) , A(-6,0) ; б) ; в) D: y = 1

23. а) 2a=50, ; б) k= , 2c=30; в) ось симметрии Оу и А(4,1)

24. а) b= , ; б) k=5/6, 2а=12; в) ось симметрии Оу и А(-2, )

25. а) а=13, F(-5,0); б) b=44, F(-7,0); в) D: х = -3/8

26. а) b=7, F(13,0); б) b=4, F(-11,0); в) D: х = 13

27. а) А(-3,0), ; б) k= , = /3; в) D: y = 4

28. а) , A(0, ) ; б) ; в) D: y = -3

29. а) 2a=30, ; б) k= , 2c=18; в) ось симметрии Оу и А(4,-10)

30. а) b= , ; б) k= /2, 2а=12; в) ось симметрии Оу и А(-45,15)

Задача 2

Составить уравнение линии, каждая точка М кото­рой удовлетворяет заданным условиям.

1. Отстоит от прямой х = -6 на расстоянии, в два раза большем, чем от точки A(1, 3).

2. Отстоит от прямой х= - 2 на расстоянии, в два раза большем, чем от точки A (4, 0).

3. Отстоит от прямой у = -2 на расстоянии, в три раза большем, чем от точки A (5, 0).

4. Отношение расстояний от точки М до точек A (2, 3) и B(-1,2) равно 3/4.

5. Сумма квадратов расстояний от точки М до точек A(4, 0) и В(-2, 2) равна 28.

6. Отстоит от точки A(1, 0) на расстоянии, в пять раз меньшем, чем от прямой х = 8.

7. Отстоит от точки A (4, 1) на расстоянии, в четыре раза большем, чем от точки B( -2, -1).

8. Отстоит от прямой х= -5 на расстоянии, в три раза большем, чем от точки A (6, 1).

9. Отстоит от прямой у = 7 на расстоянии, в пять раз большем, чем от точки A (4, —3).

10. Отношение расстояний от точки М до точек A( -3, 5) и B(4, 2) равно 1/3.

11. Сумма квадратов расстояний от точки М до точек A( -5, -1) и B(3, 2) равна 40,5.

12. Отстоит от точки A (2, 1) на расстоянии, в три раза большем, чем от прямой х= -5.

13. Отстоит от точки A ( -3, 3) на расстоянии, в три раза большем, чем от точки B (5, 1).

14. Отстоит от прямой х = 8 на расстоянии, в два раза большем, чем от точки A (-1, 7).

15. Отстоит от прямой х = 9 на расстоянии, в четыре раза меньшем, чем от точки A (-1, 2).

16. Отношение расстояний от точки М до точек A (2, -4) и B (3, 5) равно 2/3.

17. Сумма квадратов расстояний от точки М до точек A (-3, 3) и B (4, 1) равна 31.

18. Отстоит от точки A (0, -5) на расстоянии, в два раза меньшем, чем от прямой х = 3.

19. Отстоит от точки A (4, -2) на расстоянии, в два раза меньшем, чем от точки B (1, 6).

20. Отстоит от прямой х= - 7 на расстоянии, в три раза меньшем, чем от точки A (1, 4).

21. Отстоит от прямой х = 14 на расстоянии, в два раза меньшем, чем от точки A (2, 3).

22. Отношение расстояний от точки М до точек A (3, -2) и В(4, 6) равно 3/5.

23. Сумма квадратов расстояний от точки М до точек A ( - 5, 3) и В(2, -4) равна 65.

24. Отстоит от точки A (3, —4) на расстоянии, в три раза большем, чем от прямой х = 5.

25. Отстоит от точки A(5, 7) на расстоянии, в четыре раза большем, чем от точки В( - 2, 1).

26. Отстоит от прямой х = 2 на расстоянии, в пять раз большем, чем от точки A (4, -3).

27. Отстоит от прямой х =-7 на расстоянии, в три раза меньшем, чем от точки A (3, 1).

28. Отношение расстояний от точки М до точек A (3, -5) и В(4, 1) равно 1/4.

29. Сумма квадратов расстояний от точки М до точек A (-1, 2) и В(3, -1) равна 18,5.

30. Отстоит от точки A (1, 5) на расстоянии, в четыре раза меньшем, чем от прямой х= -4.

Задача 3.

Построить кривую, заданную уравнением в полярной системе координат. Записать уравнение кривой в декартовой системе координат, определить ее вид.

3.1.  = 2sin4	3.2.  = 2(1 – sin2)
3.3.  = 2sin2	3.4.  = 3sin6
3.5.  = 2/(1 + cos)	3.6.  = 3(1 + sin)
3.7.  = 2/(1 - cos)	3.8.  = 3/(1 – cos2)
3.9.  = 4sin3	3.10.  = 4sin5
3.11.  = 3(1 + cos)	3.12.  = 1/(2 - sin)
3.13.  = 5/(1 – sin2)	3.14.  = 3(2 - cos2)
3.15.  = 6sin	3.16.  = 2cos6
3.17.  = 3/(1 – cos2)	3.18.  = 2(1 - cos3)
3.19.  = 3(1 - co4)	3.20.  = 5(2 - sin)
3.21.  = 3sin4	3.22.  = 2cos4
3.23.  = 4(1 + cos2)	3.24.  = 1/(2 – cos2)
3.25.  = 4(1 - sin)	3.26. 3(1 + cos2)
3.27.  = 3cos2	3.28.  = 2sin3
3.29.  = 2/(2 - cos)	3.30.  = 2 – cos2

ИДЗ № 9