1.3. Аксіома Парето і ефективні варіанти

Порівняння між собою векторних критеріїв є досить складною проблемою.

Приклад. U = (u, v, s, t) – множина альтернатив

	k1	k2	k3
u	5	3	7
v	4	3	6
s	5	2	7
t	6	3	1

k(u)  k(v), i=1:3, тому K(u) P K(v).

k(u)  k(s), i=1:3, тому K(u) P K(s),

Тому варіанти s і v виявилися домінованими, інші векторні оцінки порівняти неможливо: k(u) N k(t).

Таким чином уся множина векторних оцінок ділиться на дві підмножини: ефективних {k(u), k(t)} і неефективних {k(v), k(s)} векторних оцінок.

З наведеного прикладу можна зробити важливий висновок: якщо варіант має абсолютний максимум для якого-небудь показника, то він не може бути домінованим.

Аксіома Парето :

Нехай дано дві векторні оцінки:

K( k₁(u), k₂(u), .. k_m(u)) і K( k₁(v), k₂(v), .. k_m(v))

Тоді кажуть, що K(u) P K(v), (P – читається як "перевага в сенсі Парето")

якщо існує хоч би одне j (від 1 до m) таке що:

 ij k_i(u) I k_i(v), або k_i(u) P k_i(v), тоді як k_j(u) P k_j(v).

Усі векторні оцінки, для яких не існує більш прийнятних в сенсі Парето векторних оцінок, утворюють множину H^о ефективних векторних оцінок, а відповідні варіанти – множину v^о – ефективних варіантів.

Для нашого прикладу: H = {K(u), K(v), K(s), K(t)}, H^о = {K(u), K(t)} – множина ефективних векторних оцінок.

Визначення множини ефективних векторних оцінок зазвичай не дозволяє отримати в чистому вигляді рішення задачі, але є важливим і обов'язковим етапом, оскільки практично завжди відбувається скорочення наявних варіантів. Крім того, для H^о і v^о можуть виконуватися допущення, яке не справджуються для H і v, тобто задача далі може спрощуватися за рахунок додаткових правил або інформації після скорочення.

Приналежність до v отриманого рішення – деяка гарантія правильності результату. Отримана множина оптимальних векторних оцінок послідовно звужується за рахунок використання додаткової інформації, спеціальних методів або за допомогою запровадження нових правил. Розглянемо деякі з цих підходів.

1.4. Важливість часткових критеріїв і використання додаткової інформації для прийняття рішення

Якщо при виборі того або іншого варіанту використання принципу Парето не дає єдиного рішення, необхідно знайти способи звуження можливого вибору з множини ефективних варіантів. Досі передбачалося, що усі критерії однакові по важливості і однаково впливають на перевагу векторного критерію. Насправді часто перевага за найбільш важливими частковими критеріями веде до переваги векторної оцінки в цілому. Поняття відносної важливості часткових критеріїв можливо буде визначити тільки коли вони будуть порівнянні (інакше як визначити: що краще – 200 тонн чи 10 км). Щоб «розшити» цю проблему використовують процедуру нормалізації.

Часткові критерії вважаються нормалізованими, якщо області їх зміни Н i=1:m збігаються.

Нормалізацію проводять різними способами – від застосування менш чутливих шкал під час вимірювання оцінок, до обчислення різного роду статистик. Найбільшого поширення набула статистика виду:

ki'(v) =	ki(v) – mini k(v)
	maxi k(v) – mini k(v)

Вона зручна тим, що всі k_i'(v)  [0 ; 1], причому min k'_i(v) = 0, max k'_i(v) = 1. Таким чином, нормалізований частковий критерій показує, на яку частину всього діапазону змін [0 ; 1] цей частковий критерій перевершує мінімальне значення.

Приклад:

	Початкові значення			Нормовані значення
	k1	k2	k3	k'1	k'2	k'3
K(u)	80	0,12	0,0030	0,10	0,60	0,77
K(v)	70	0,06	0,0107	0	0	1
K(w)	170	0,16	0,0007	1	1	0

Після нормалізації часткових критеріїв векторні критерії набувають деяких корисних властивостей. Головна з них – будь-яка перестановка часткових критеріїв приводить до векторної оцінки, яка входить в множину значень початкової векторної оцінки.

Додаткова інформація задається у вигляді множини символів: рівноцінність часткових критеріїв k_r(u) і k_t(u) позначається r S t. Така інформація називається "словом". Слово r B t – інформація про те, що частковий критерій k_r(u) є важливішим, ніж k_t(u).

Важливою якістю додаткової інформації є її повнота і несуперечність. Графічно повнота інформації добре ілюструється за допомогою графа відношень за критерієм важливості на множині вершин, які відповідають частковим критеріям, з орієнтованими (B) або неорієнтованими (S) ребрами. У графі (у разі повноти) має бути можливість побудувати шлях між будь-якою парою вершин. Графічно суперечність інформації відображається наявністю циклів (замкнених шляхів) з орієнтованими ребрами.