2.2 Постановка задачи оптимизации

Задаются преподавателем и считаются фиксированными следующие характеристики теплообменника типа «труба в трубе» (его расчетная схема представлена на рис. 1): вид теплоносителей в трубе и кольцевом канале; G₁, G₂ - расходы теплоносителей, кг/с; t₁ и t₁ - температуры теплоносителя внутри трубы соответственно на входе в теплообменник и на выходе из него; t₂ - температура теплоносителя на входе в кольцевой канал, С;  - толщина стенки внутренней трубы, м; С - весовой коэффициент, определяющий концепцию расчета, м/Вт.

Предполагается, что используется противоточная схема движения теплоносителей.

В процессе начального диалога с программой определяются следующие величины: тепловая производительность теплообменника Q, Вт, и температура t₂, С, второго теплоносителя при выходе из кольцевого канала: t - среднелогарифмический температурный напор, К; С_Р1, С_Р2 - удельные массовые изобарные теплоемкости теплоносителей, Дж/(кгК); ₁, ₂ - плотности теплоносителей, кг/м³; ₁, ₂ - коэффициенты теплопроводности теплоносителей, Вт/(мК); Рr₁, Рr₂ – числа Прандтля теплоносителей.

Физические параметры теплоносителя вводятся вручную. Их значения берутся из справочной таблицы (приложение 3) в зависимости от значений определяющих температур теплоносителей (t₁ или t₂), рассчитывае-

а) б)

Рис. 1. Расчетная схема теплообменного аппарата типа «труба в трубе» а – общий вид; б – поперечное сечение

мых в ходе выполнения программы.

Все перечисленные выше величины остаются далее фиксированными при вариантных расчетах.

Задача оптимизации формулируется следующим образом. Целевая функция: Z = F + С P  min;

Варьируемые проектные параметры - d₁ и d_2экв.

На заключительной стадии работы необходимо исследовать поведение значение величин площади поверхности теплопередачи F и затрат мощности на прокачивание теплоносителей Р вблизи оптимума. Для этого проводятся расчеты по плану, показанному на рис. 2.

Рис. 2. План вычислений в окрестностях оптимума

Чтобы получить достаточно быстро действительно оптимальный результат, необходимо вести поиск, четко осознавая последствия варьирования проектных параметров. Необходимо внимательно изучить в связи с этим функциональную диаграмму (алгоритм расчета целевой функции) на рис. 3.

Рис. 3. Функциональная диаграмма

2.3 Математическая модель теплообменного аппарата

При записи расчетных соотношений предполагается, что процессы теплообмена в аппарате не сопровождаются фазовыми переходами. Принимается, что оптимизационные расчеты проводятся на этапе начального проектирования, в связи с чем выбираются наиболее простые формулы, пренебрегаются поправки на изменения физических параметров, на наличие начальных участков и т.п.

Основными соотношениями для расчета теплообменников являются: уравнение теплового баланса, Вт

Q = G₁С_р1(t₁ - t₁) = G₂С_р2( t₂ - t₂), (2.4)

где G₁, G₂ – расходы, соответственно, теплоотдающего (1) и тепловоспринимающего (2) теплоносителей, кг/с;

С_р1, С_р2 – средние массовые изобарные теплоемкости теплоносителей, Дж/(кгК);

t₁, t₂ – температуры теплоносителей на входе в ТА, С;

t₁, t₂ – температуры теплоносителей на выходе из ТА, С;

уравнение теплопередачи, Вт

Q = kt_срF, (2.5)

где k – коэффициент теплопередачи, Вт/(м²К);

t_ср – среднелогарифмический температурный напор, К;

F – площадь поверхности теплообмена, м²;

уравнение затрат мощности на прокачивание теплоносителей, Вт

, (2.6)

где  - коэффициент гидравлического сопротивления;

₁, ₂ , - плотности теплоносителей, кг/м;

W₁, W₂, - скорости движения теплоносителей, м/с.

l - длина теплообменника, м ;

d₁ - внутренний размер внутренней трубы, м ;

d_2экв - эквивалентный диаметр кольцевого сечения, м.

Значение эквивалентного диаметра определяется по формуле

d_2экв = d_{кольц нар} – d_{кольц.вн}, где d_{кольц нар} – наружный диаметр внутренней трубы, м; d_{кольц.вн} – внутренний, диаметр наружной трубы, м (см. рис. 1);

, (2.7)

где ₁, ₂ - коэффициенты теплоотдачи, Вт/(м²К);

 - толщина стенки воздушной трубы, м;

 - коэффициент теплопроводности материала трубы, Вт/(мК);

, (2.8)

где t_б, t_м - наибольшая и наименьшая разницы между температурами теплоносителей, ºС.

Программа предусматривает противоточную схему движения теплоносителей (рис. 4);

F = d_расчl (2.9)

. (2.10)

Рис. 4. Схема изменения температур теплоносителей

Здесь использовались приближенные формулы для расчета теплопередачи через тонкостенную цилиндрическую трубу.

Варьируемыми геометрическими характеристиками теплообменника

типа "труба в трубе" являются внутренний диаметр внутренней трубы (d₁) и эквивалентный диаметр кольцевого канала (d_2экв).

Скорости течения теплоносителей определяются из уравнений расхода

(2.11)

(2.12)

Коэффициенты теплоотдачи и сопротивления трения в трубе и кольцевом канале рассчитываются по следующим формулам:

при Re  10000 (турбулентный режим)

; (2.13)

при Re  2300 (ламинарный режим)

для внутренней трубы

Nu_л = 4;  = 64/Re; (2.14)

для кольцевого канала

Nu_л = 4,34 + 0,78d_{кольц.нар}/d_{кольц.вн}; (2.15)

при 2300  Re  10000 (переходный режим)

, (2.16)

где  - коэффициент перемежаемости.

Коэффициент перемежаемости рассчитывается по формуле:

• = 1 - ехр(1 - Re/2300), (2.17)

а значения Nu и  при ламинарном и турбулентном режимах определяются по приведенным выше формулам.

Каждый этап расчета заканчивается поиском значения целевой функции по (2.3).

Уравнение (2.3) является уравнением поверхности в системе координат d₁, d_2экв, Z.