§2. Функциональные свойства суммы ряда

10. Непрерывность.

Теорема 1.

Если члены функционального ряда определены на отрезке и ряд равномерно сходится на этом отрезке, то в точках непрерывности функций сумма ряда непрерывна.

Доказательство.

Пусть непрерывны в точке .

Так как , , то для верно неравенство

Возьмем и разделим его на 3. По определению равномерной сходимости найдется такой номер , что при всех и всех выполняется неравенство . Значит, и . Далее фиксируем некоторое . Функция как сумма непрерывных функций непрерывна в точке . Поэтому для найдется такое, что как только , то выполняется неравенство .

Окончательно имеем . ■

20. Почленное интегрирование функционального ряда.

Теорема 2.

Если члены функционального ряда непрерывны и ряд равномерно сходится на этом отрезке, то его можно почленно интегрировать, т.е.

.

Доказательство.

Существование всех интегралов, указанных в теореме, очевидно. Докажем, что сходится ряд

. (**)

Проинтегрируем равенство , получим

или

.

Далее установим, что . Для этого возьмем сколь угодно малое и для числа , используя равномерную сходимость, найдем номер , такой, что при всех и всех выполняется неравенство . Проведем оценку

, что и означает

.

Для частичных сумм ряда (**) верно

.

При правая часть имеет предел, следовательно, частичные суммы ряда (**) имеют предел, а именно предел, равный . ■

30. Почленное дифференцирование функционального ряда.

Теорема 3.

Если члены функционального ряда непрерывно дифференцируемы на , ряд сходится на этом отрезке, а ряд сходится равномерно, то сумма ряда является непрерывно дифференцируемой функцией и .

Доказательство.

Обозначим , по условию, этот ряд составлен из непрерывных функций и равномерно сходится, поэтому проинтегрируем его по отрезку

.

Итак, , слева в этом равенстве стоит интеграл с переменным верхним пределом, он имеет производную по этому пределу, равную подынтегральной функции . Следовательно, существует и производная правой части, т.е . Окончательно получаем или .

Замечание. В теоремах 1-3 нельзя убрать требование равномерной сходимости (т.е. ряд может сходиться неравномерно к разрывной функции), с другой стороны, это требование не является необходимым (например, ряд может сходиться к непрерывной функции, но неравномерно).

Г л а в а 3. Степенные ряды

§1. Определение степенного ряда. Область сходимости и радиус сходимости. Равномерная сходимость

Функциональный ряд вида называется степенным. Число называется центром ряда, а числа ─ коэффициентами ряда. Замена переменной приводит ряд к виду , т.е к ряду с нулевым центром. Далее будем рассматривать именно такие ряды.

Итак, пусть дан ряд

. (*)

Выясним, какую область сходимости он имеет и каковы функциональные свойства суммы ряда. Заметим сразу, что область сходимости не является пустым множеством ─ при ряд (*) всегда сходится.

Теорема 1. (Первая теорема Абеля)

Если ряд (*) сходится в точке , то он сходится при всех , причем абсолютно.

Доказательство.

Числовой ряд сходится выполнен необходимый признак, т.е. величина ограничена существует такое, что .

Запишем цепочку неравенств

. При всех , таких, что , ряд сходится ( сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии), поэтому сходится ряд для всех , что и означает, что сходится абсолютно ряд (*), т.е. он сходится. ■

Следствие. Если ряд (*) расходится в точке , то он расходится при всех .

Доказать самостоятельно.

Пусть ─ область сходимости ряда (*). Найдем . Очевидно, что . Рассмотрим возможные случаи.

При ряд (*) сходится только при . Примером является ряд .

При ряд сходится при любых . Примером является ряд .

Пусть теперь . Возьмем . По определению точной верхней грани для найдется такое , что , и ряд сходится (точную верхнюю грань нельзя уменьшить!).

По первой теореме Абеля ряд (*) сходится при , т.е ряд сходится в интервале , и, значит, сходится в точке . Поэтому заключаем, что областью сходимости ряда (*) является интервал .

Определение .

Величина называется радиусом сходимости степенного ряда.

Итак, степенной ряд с радиусом сходимости сходится при , причем абсолютно, расходится при . При и сходимость зависит от конкретного ряда.

Примеры.

1. . Исследуем сходимость по признаку Даламбера:

. Ряд сходится при и расходится при . Посмотрим граничные точки и . Нетрудно видеть, что в обоих случаях не выполняется необходимый признак сходимости, т.е. ряд расходится.

Ответ. ; область сходимости .

2. .

Найдем по признаку Даламбера

. Ряд сходится при .

Исследуем сходимость в точке . Имеем ряд . Видно, что этот ряд эквивалентен гармоническому ряду , значит, он расходится.

Теперь рассмотрим случай . Получаем знакочередующийся ряд . Обратимся к признаку Лейбница. Условия 1 и 3 , очевидно, выполнены, проверим условие 2 ─ монотонность стремления к 0. Для этого исследуем функцию . Найдем производную . Видно, что , следовательно, эта функция монотонно убывает при , и дробь также убывает при . Итак, условия признака Лейбница выполнены ─ ряд сходится (условно!).

Ответ. ; область сходимости .

Теорема 2. (Равномерная сходимость степенного ряда)

Степенной ряд сходится равномерно внутри интервала сходимости, т.е. для степенной ряд сходится равномерно на отрезке .

Доказательство.

Так как при , то числовой положительный сходящийся ряд является мажорантой ряда на отрезке , поэтому ряд (*) по признаку Вейерштрасса сходится равномерно.

Теорема 3. (Вторая теорема Абеля)

Если степенной ряд с радиусом сходимости сходится, пусть и условно при ( ), то он сходится равномерно вплоть до этой точки, т.е. равномерно сходится, например, на отрезке .

(Без доказательства)