Выбор без возвращения, с учётом порядка

Теорема 2. Общее количество различных наборов при выборе   элементов из   без возвращения и с учётом порядка равняется

и называется числом размещений из   элементов по   элементов.

Доказательство. Первый шар можно выбрать   способами, его номер — любой из   возможных. При любом выборе первого шара есть   способ выбрать второй шар. По теореме 1, число возможных пар

равно  . Для каждой такой пары есть   способа выбрать третий шар. По теореме 1, число возможных троек

равно произведению числа пар   и числа способов выбора третьего шара, т.е. равно  . Продолжая рассуждения, получим, что общее число возможных наборов из   шаров равно  . В этом произведении   сомножителей последний множитель   есть число способов выбора  -го шара, когда уже выбраны предыдущие.

QED

Следствие 1. Если в множестве   элементов, то существует ровно   перестановок этих элементов.

Доказательство. Перестановка — результат выбора без возвращения и с учётом порядка   элементов из  . Поэтому общее число перестановок равно 

QED

Упражнение 3. Найти, сколько всего возможно различных результатов в следующих экспериментах:

а)

из колоды в 36 карт без возвращения, с учётом порядка вынимают три карты;

б)

Вася, Петя, Оля и Лена занимают какие-то четыре из десяти мест в классе;

в)

из русского алфавита выбирают четыре разные буквы и составляют слово;

г)

из различных цифр, не равных нулю, составляется трёхзначное число.

Выбор без возвращения и без учёта порядка

Теорема 3. Общее количество различных наборов при выборе   элементов из   без возвращения и без учёта порядка равняется

и называется числом сочетаний из   элементов по   элементов.

Доказательство. Согласно следствию 1,   различных номеров шаров можно упорядочить   способами. Поэтому из каждого набора, выбранного без возвращения и без учёта порядка, можно образовать   наборов, отличающихся друг от друга порядком следования номеров. Т.е. при выборе без возвращения и с учётом порядка возможно в   раз больше наборов, чем при выборе без учёта порядка. Поэтому число наборов при выборе без учёта порядка равно 

QED

Упражнение 4. Найти, сколько всего возможно различных результатов в следующих экспериментах:

а)

из колоды в 36 карт без возвращения, без учёта порядка вынимают три карты;

б)

из русского алфавита выбрасывают четыре буквы.

Выбор с возвращением и с учётом порядка

 Теорема 4. Общее количество различных наборов при выборе   элементов из   с возвращением и с учётом порядка равняется  .

Доказательство. Первый шар можно выбрать   способами. При каждом из этих способов второй шар можно выбрать также   способами, и так   раз. Общее число наборов равно .

QED

Упражнение 5. Найти, сколько всего возможно различных результатов в следующих экспериментах:

а)

из колоды в 36 карт тянут три раза карту с учётом порядка и с возвращением;

б)

пятизначное число составляется из одних нечётных цифр;

в)

обезьяна напечатала на машинке слово из десяти букв.

Выбор с возвращением и без учёта порядка

Рассмотрим урну с двумя пронумерованными шарами и перечислим результаты выбора двух шариков из этой урны при выборе с возвращением.

с учётом порядка	без учёта порядка
(1,1)	(1,1)
(2,2)	(2,2)
(1,2) (2,1)	}     (1,2)

Видим, что в схеме «без учёта порядка» получилось три различных результата, в отличие от четырёх результатов в схеме «с учётом порядка». Заметим также, что никаким делением на «число каких-нибудь перестановок», которое помогло избавиться от учёта порядка при выборе без возвращения, число 3 из числа 4 получить не удастся.

  Теорема 5. Общее количество различных наборов при выборе   элементов из   с возвращением и без учёта порядка равняется

Упражнение 6. Проверить, что при   и   получается ровно 3.

Доказательство. Рассмотрим подробно, чем отличаются друг от друга два разных результата такой схемы выбора. Нам не важен порядок номеров, т.е. мы учитываем только, сколько раз в нашем наборе из   номеров шаров появился каждый номер. Поэтому результат выбора можно представить набором чисел  , в котором   — число появлений шара номер   в наборе, и  . Числа   принимают значения из  . Два результата выбора в схеме выбора с возвращением и без учёта порядка различаются, если соответствующие им наборы   не совпадают (порядок следования элементов   учитывается).

Представим себе другой эксперимент, имеющий точно такие же результаты, и посчитаем их количество. Есть   ящиков, в которых размещаются   шаров. Нас интересует только число шаров в каждом ящике. Результатом эксперимента снова является набор чисел  , где   равно числу шаров в ящике с номером  , и  . Числа   принимают натуральные значения или равны нулю.

А теперь изобразим результат такого размещения в виде схемы, в которой вертикальные линии обозначают перегородки между ящиками, а точки — находящиеся в ящиках шары:

Мы видим результат размещения девяти шаров по семи ящикам. Первый ящик содержит три шара, второй и шестой ящики пусты, третий ящик содержит один шар, в четвёртом и пятом ящиках лежит по два шара. Переложим один шар из первого ящика во второй и изобразим таким же образом ещё два результата размещения:

Видим, что все размещения можно получить, меняя между собой шары и перегородки, или расставляя   шаров на   местах. Число   получается так: у   ящиков есть ровно  перегородка, считая крайние, но из них перемещать можно лишь   внутреннюю перегородку. Таким образом, имеется   мест, которые можно занять шарами либо внутренними перегородками. Перебрав все возможные способы расставить   шаров на этих   местах (заполняя оставшиеся места перегородками), переберем все нужные размещения.

Осталось заметить, что способов расставить   шаров на   местах существует

Именно столько есть способов выбрать из   номеров мест   номеров мест для шаров.

Упражнение 7.

а)

Найти количество способов разложить натуральное число   в сумму   целых неотрицательных слагаемых, если важен порядок следования этих слагаемых.

б)

Найти число различных производных порядка   функции   переменных.

в)

Найти число возможных результатов подбрасывания двух игральных костей, если кости считаются неразличимыми. То же самое для трёх игральных костей.

1. Случайные события. Частота. Вероятность.     Теория вероятностей — математическая наука, изучающая закономерности массовых случайных явлений (событий).      Случайным событием (или просто событием) называется всякое явление, которое может произойти или не произойти при осуществлении определенной совокупности условий. Теория вероятностей имеет дело с такими событиями, которые имеют массовый характер. Это значит, что данная совокупность условий может быть воспроизведена неограниченное число раз. Каждое такое осуществление данной совокупности условий называют испытанием (или опытом).      Если, например, испытание состоит в бросании монеты, то выпадение герба является событием; если испытание — изготовление подшипника данного типа, то соответствие подшипника стандарту — событие; если испытание — бросание игральной кости, т. е. кубика, на гранях которого проставлены цифры (очки) от 1 до 6, to выпадение пятерки — событие.      События будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита: A, В, С, ... .      Пусть при n испытаниях событие A появилось m раз.      Отношение m/n называется частотой (относительной частотой) события A и обозначается Р*(А)=m/n      Опыт показывает, что при многократном повторении испытаний частота Р*(А) случайного события обладает устойчивостью. Поясним это на примере.      Пусть при бросании монеты 4040 раз герб выпал 2048 раз. Частота появления герба в данной серии опытов равна Р*(А)=m/n=2048/4040=0,5069. При бросании той же монеты 12000 раз герб выпал 6019 раз. Следовательно, в этом случае частота Р*(А)=6019/12000=0,5016. Наконец, при 24000 бросаний герб появился 12012 раз с частотой Р*(А)=0,5005. Таким образом, мы видим, что при большом числе бросаний монеты частота появления герба обладает устойчивостью, т. е. мало отличается от числа 0,5. Как показывает опыт, это отклонение частоты от числа 0,5 уменьшается с увеличением числа испытаний. Наблюдаемое в этом примере свойство устойчивости частоты является общим свойством массовых случайных событий, а именно, всегда существует такое число, к которому приближается частота появления данного события, мало отличаясь от него при большом числе испытаний. Это число называется вероятностьюсобытия. Оно выражает объективную возможность появления события. Чем больше вероятность события, тем более возможным оказывается его появление. Вероятность события A будем обозначать через Р(А). В рассмотренном выше примере вероятность появления герба, очевидно, равна 0,5.      Событие называется достоверным, если оно в данном опыте обязательно должно произойти; наоборот, событие называется невозможным, если оно в данном опыте не может произойти.      Пусть, например, из урны, содержащей только черные шары, вынимают шар. Тогда появление черного шара — достоверное событие; появление белого шара — невозможное событие.      Если событие достоверно, то оно произойдет при каждом испытании (m=n). Поэтому частота достоверного события всегда равна единице. Наоборот, если событие невозможно, то оно ни при одном испытании не осуществится (m=0). Следовательно, частота невозможного события в любой серии испытаний равна нулю. Поэтому вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного события равна нулю.      Если событие A не является ни достоверным, ни невозможным, то его частота m/n при большом числе испытаний будет мало отличаться от некоторого числа p (где 0 < p < 1 ) — вероятности события A.      Совмещением (или произведением) двух событий A и В называется событие, состоящее в совместном наступлении как события A, так и события В. Это событие будем обозначать АВ илиВА.      Аналогично, совмещением нескольких событий, например A, В и С, называется событие D=ABC, состоящее в совместном наступлении событий A, В и С.      Объединением (или суммой) двух событий A и В называется событие С, заключающееся в том, что произойдет по крайней мере одно из событий A или В. Это событие обозначается так:С=А+В.      Объединением нескольких событий называется событие, состоящее в появлении по крайней мере одного из них. Запись D=A+B+C означает, что событие D есть объединение событий A, Ви С.      Два события A и В называются несовместными, если наступление события A исключает наступление события В. Отсюда следует, что если события A и В несовместны, то событие AB — невозможное. 

Рассмотрим следующий пример. Будем следить за движением какой-нибудь определенной молекулы газа, заключенного в некоторый объем. Внутри этого объема выделим объемы   и  , частично перекрывающие друг друга (рис. 1). Пусть событие A — попадание молекулы в объем  , событие В — попадание молекулы в объем . Совмещением событий A и В является попадание молекулы в общую часть объемов   и  . Если объемы   и   не имеют общих точек, то ясно, что события A и Внесовместны. Объединением событий A и В является попадание молекулы или только в объем   или только в объем  , или же в их общую часть.