2. Модельный пример
Приведена зависимость напряжённости электростатического поля (y) в процессе гидромониторной промывки ёмкости после нефтепродукта от диэлектрической проницаемости моющей жидкости (x). Результаты эксперимента представлены в таблице 2.1.
Таблица 2.1 – Результаты эксперимента
№ п/п |
X |
Y |
№ п/п |
X |
Y |
№ п/п |
X |
Y |
1 |
50 |
32 |
11 |
55 |
54 |
21 |
62 |
72 |
2 |
51 |
35 |
12 |
56 |
50 |
22 |
63 |
71,5 |
3 |
52 |
29 |
13 |
57 |
60 |
23 |
63,5 |
73 |
4 |
52,5 |
31,5 |
14 |
58 |
52 |
24 |
64 |
75 |
5 |
53 |
30 |
15 |
59 |
65 |
25 |
64,5 |
74 |
6 |
54 |
35 |
16 |
60 |
69 |
26 |
65 |
77 |
7 |
54,5 |
38 |
17 |
61 |
68,5 |
27 |
66 |
75 |
Построим эмпирическую линию регрессии, чтобы определить вид уравнения.
Для этого разобьем рассматриваемый диапазон значений x на n равных интервалов. Для определения n числа интервалов воспользуемся формулой Стерджеса:
Округляем полученный результат до 5.
Ширина интервала h будет равна
Таким образом получим следующие границы и частные средние значения интервалов (таблица 2.2).
Таблица 2.2 – Границы и частные средние значения интервалов
Интервал |
Границы интервала |
Частные средние
|
1 |
[50;53,2] |
31,5 |
2 |
(53,2;56,4] |
44,25 |
3 |
(56,4;59,6] |
59 |
4 |
(59,6;62,8] |
69,8 |
5 |
(62,8;66] |
74,25 |
Соединим полученные точки отрезками прямой (рисунок 2.1).
Рисунок 2.1 – Эмпирическая линия регрессии
Исходя из полученного графика, можно предположить, что данная зависимость имеет линейный, либо степенной вид. Соответственно, необходимо найти коэффициенты для двух уравнений регрессии: и .
Линейное уравнение .
Коэффициенты линейного уравнения определяются по формулам (1.10) и (1.11.)
Промежуточные расчёты представлены в таблице 2.3
Таблица 2.3 – Промежуточные расчёты
Величина |
Значение |
∑Х |
1221 |
∑У |
1166,5 |
∑Х2 |
71515 |
∑ХУ |
69589,25 |
(∑Х)2 |
1490841 |
Степенное уравнение
Коэффициенты данного уравнения будут
определяться по формуле (1.14). a=22,296;
b=0,3954.
Проверим среднюю погрешность аппроксимации для каждого из построенных уравнений регрессии. Расчёт проводится по формуле (1.19).
;
Исходя из значений средней погрешности аппроксимации можно сделать вывод, что уравнение регрессии линейного вида точнее описывает эмпирическую зависимость.