Непрерывная случайная величина

Как уже говорилось выше, непрерывной случайной величиной называют случайную величину, которая может принимать любые значения на заданном интервале. Исследуем случайную величину X, возможные значения которой сплошь заполняют интервал (a, b). Ясно, что перечислить все ее значения невозможно, следовательно, нельзя записать закон ее распределения в виде, скажем, таблицы, как это делалось для дискретной случайной величины. Рассмотрим вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x, функцию

назовем функцией распределения вероятности. Теперь можно дать более точное определение непрерывной случайной величины.

Определение. Непрерывной случайной величиной называется величина, имеющая непрерывную функцию распределения с непрерывной производной.

Свойства функции распределения

Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1].

Это свойство непосредственно вытекает из определения вероятности случайного события, откуда следует, что вероятность - положительная величина, не превышающая единицу. Итак,

Свойство 2. Функция распределения есть неубывающая функция, то есть при

Доказательство. Чтобы случайная величина X принимала значение, меньшее , она должна находиться либо в интервале либо в интервале . Ясно, что эти два события несовместные, ибо случайная величина не может находиться и в том, и в другом интервале. Но вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей

так как любая вероятность - неотрицательное число. Отсюда следует, что

Следствие 1. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, равна нулю.

Следствие 2. Вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале (a, b) равна приращению функции распределения на этом интервале:

Пример. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 2).

Решение:

Свойство 3. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то при ,  при

Плотность распределения

Способ задания непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным. Ее можно задать и с помощью функции, называемой плотностью распределения.

Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называют функцию f(x) - первую производную от функции распределения F(x). Итак, Из определения функции распределения следует, что плотность распределения также непрерывная функция.

Теорема. Вероятность попадания непрерывной случайной величины X в интервал (a, b) равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b:

Доказательство. Из формулы Ньютона-Лейбница следует

где Но что и требовалось доказать.

Пример. Задана плотность распределения вероятностей

Определить вероятность попадания случайной величины в интервал

Решение.

Свойства плотности распределения.

Свойство 1. Плотность распределения - неотрицательная функция. Это утверждение справедливо, поскольку функция распределения неубывающая функция, следовательно, ее производная положительна.

Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения а интервале равен единице. Поскольку случайная величина обязательно попадет в указанный интервал, вероятность этого достоверного события, очевидно, равна единице.

Определение функции распределения по заданной плотности распределения.

Имеем

Вероятностный смысл плотности распределения

Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала , с точностью до бесконечно малых высшего порядка по сравнению с равна произведению плотности вероятностей в точке x и длины интервала .

Доказательство:

Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

Как для дискретных, для непрерывных случайных величин вводятся понятия математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения.

Пусть непрерывная случайная величина X задана плотностью и все ее значения принадлежат интервалу . Разобьем этот интервал на n отрезков, длина каждого выберем на каждом из этих отрезков точку и подсчитаем сумму Поскольку вероятность попадания в интервал длиной равна , о чем только что говорилось выше, данная сумма, во-первых, представляет математическое ожидание как бы дискретной случайной величины X, с другой стороны, представляет собой интегральную сумму Римана, следовательно, ее предел при стремлении всех длин отрезков к нулю представляет собой определенный интеграл. Таким образом, математическое ожидание случайной величины равно

Определение 1. Математическое ожидание непрерывной случайной величины X , заданной плотностью , все значения которой принадлежат интервалу вычисляется по формуле

Определение 2. Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонений. При том же задании случайной величины

Учитывая, что математическое ожидание случайной величины постоянно, можно получить более простую формулу вычисления дисперсии. Итак,

Таким образом,

Определение 3. Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для дискретной, соотношением

Пример. Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной плотностью вероятностей

Примеры.

1.

2.  

3.

    

Законы распределения непрерывной случайной величины.

Равномерное распределение НСВ.

Это распределение задается следующим законом плотности распределения

Видим, что плотность распределения одинакова на интервале (a; b). Подсчитаем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение

Функция распределения той же случайной величины

Нормальное распределение вероятностей НСВ.

Нормальным называют распределение вероятностей НСВ, которое задается плотностью

Это распределение зависит от двух параметров. Определим их вероятностный смысл, для чего подсчитаем математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

поскольку первый из интегралов равен нулю как интеграл от нечетной функции в указанных пределах, второй - интеграл Пуассона - равен Таким образом, первый параметр распределения - есть математическое ожидание.

Вычислим дисперсию по основной формуле

так как внеинтегральный член равен нулю, а интеграл - интеграл Пуассона.

Очевидно, второй параметр преобразования - есть среднее квадратическое отклонение.

График плотности вероятности для нормального закона распределения.

Если возрастает, то максимальная ордината уменьшается и сама кривая становится более пологой.

Определим вероятность попадания случайной величины X в интервал :

Интеграл - называется функцией Лапласа, причем функция Лапласа является нечетной, т.е. .

Значения функции Лапласа приводятся во всех пособиях по теории вероятностей.

Таким образом,

Пример. Случайная величина распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (10,50).

Решение: Т.е.

Примечание. Значение функции Лапласа взято из справочника.

На практике часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины X по абсолютной величине меньше заданного положительного числа . Тогда

Пример. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение ее соответственно равны a=20,   . Найти вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше 3.

Решение:

Правило трех сигм

Пусть , тогда . Поскольку вероятность практически равна 1, сформулируем правило.

Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

Примечание. Известны другие функции распределения. Выбор подходящего закона распределения для исследуемого случайного процесса – важнейшая задача. Если наблюдение случайной величины произошло, по результатам наблюдения строится график функции распределения (полигон). Его очертания сравнивают с известными законами распределения, и при последующими наблюдениями этой случайной величины выбирают наиболее близкий закон распределения.

Закон больших чисел

Суть этого закона в том, что при некоторых условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин, наблюдаемых в ходе одного исследования, почти утрачивает случайный характер и становится закономерным. Но не обязательно истинным.

Пример. Производится измерение некоторой величины одним тем же прибором в одинаковых условиях. Обычно за истинный размер берут среднее арифметическое проведенных измерений. Закон больших чисел утверждает, что чем больше таких измерений, тем меньше результат зависит от случайностей, влияющих на измерения, то есть средний результат практически не будет зависеть от этих случайностей. Но есть ли уверенность в том, что полученный результат дает истинный размер. Даже закон больших чисел такой уверенности не дает, поскольку результат зависит от точности прибора и условий, в которых проводятся измерения.

Закон больших чисел, имеющий важнейшее значение в теории вероятностей, особенно в математической статистике, основан на замечательной теореме русского математика П.Л. Чебышева, суть которой в следующем. Даже если отдельные независимые случайные величины принимают далекие значения от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа этих значений отличается от среднего арифметического их математических ожиданий на малую величину. Этот закон дает уверенность, тщательное изучение случайных явлений приближает нас к выявлению закономерностей их поведения, если таковые имеют место.