Самостоятельная работа

1. Найти области определения и значений функции:

1.1. ;	1.4. ;
1.2. ;	1.5. ;
1.3. ;	1.6.

2. Частное и полное приращение функции

Если переменной дать некоторое приращение , а оставить постоянной, то функция получит приращение , называемое частным приращением функции z по переменной х:

.

Аналогично, если переменная получает приращение , а остается постоянной, то частное приращение функции по переменной :

.

Полным приращением функции называется разность

.

3. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность

Определение 2. Число А называется пределом функции при стремлении точки ( ) к точке , если для каждого числа найдется такое число , что для всех точек ( ), для которых выполняется неравенство , имеет место неравенство

.

Если число А является пределом функции при ( ) , то пишут

.

Пример 4. Найти предел .

Решение. Убедившись, что функция не определена в предельной точке, делаем преобразования:

, так как .

Определение 3. Функция называется непрерывной, в точке , если .

Для непрерывности функции и точке необходимо выполнение следующих условий:

1). должна быть определена в точке и вблизи этой точки;

2). должна иметь предел, когда точка произвольным способом;

3). этот предел должен быть равен .

Функция , непрерывная в каждой точке некоторой области D, называется непрерывной в этой области.

Например, функция непрерывна в любой точке плоскости, за исключением точки (0,0), в которой функция терпит разрыв.

Функция двух переменных может иметь множество точек разрыва; если они составляют линию, то она называется линией разрыва.

Например, функция разрывна в каждой точке окружности .

Самостоятельная работа

1. Найти пределы:

1.1. , 1.2.

2. Указать точки или линии разрыва

2.1. , 2.2. .

4. Частные производные функции нескольких переменных

Функцию можно дифференцировать по каждому из ее аргументов, считая при этом все остальные аргументы постоянными.

Определение 4.Частной производной по от функции называется предел отношения частного приращения по к приращению при стремлении к нулю. Частная производная по от функции обозначается одним из символов

.

Аналогично определяются и обозначаются частные производные функций любого числа независимых переменных.

Частные производные функции нескольких переменных находятся по известным правилам дифференцирования функции одной переменной.

Пример 5. Найти частные производные функции .

Решение. Находим: ,

.

Пример 6. Найти частные производные функции .

Решение. Находим: ,

,

.

Самостоятельная работа

1. Найти частные производные функций:

1.1. ;	1.4. ;
1.2. ;	1.5. ;
1.3. ;	1.6. .