Тестовые задания к модулю VII:

1. На какой высоте концентрация молекул уменьшается в е раз?

1) kT/mg 2) 2 * kT/mg 3) 0,5 * kT/mg 4) 0,25 * kT/mg

2. Определить отношение давления воздуха на горе, высотой 2 км, к давлению в шахте, глубиной 2 км.

1) 0,3 2) 0,6 3) 1,2 4) 1,8

3. Найти среднюю кинетическую энергию <Eк> поступательного движения молекул.

1) kT 2) 1,5 kT 3) 3 kT 4) 0,5 kT

4. На какой высоте находится центр масс вертикального столба воздуха в изотермической атмосфере Земли температуры T?

1) 4 kT/mg 2) 3 kT/mg 3) 2 kT/mg 4) kT/mg

5. Физический смысл функции :

1) вероятность

2) производная

3) плотность вероятности

4) экстремум функции вероятности

МОДУЛЬ VIII. Распределение по компонентам скоростей.

Цель модуля – на основе результатов, изложенных в модуле VII, получить распределение молекул по компонентам скоростей. Изучение изложенного в модуле материала позволит понять вероятностный смысл функции распределения молекул по компонентам скоростей, проанализировать зависимость функции распределения от температуры и других параметров.

Рассмотрим движение вдоль оси ОХ и выделим интервал скоростей от до . На этот интервал приходится число молекул .

Используя распределение Больцмана, для вероятности нахождения молекул в этом интервале запишем выражение:

(19)

Перейдем к пределу и введём величину интервала :

(20)

В левой части равенства появилась плотность функции распределения вероятностей .

Знаки пределов интегрирования связаны с тем, что проекции могут быть больше нуля и меньше нуля.

Известно, что

.

Тогда для плотности функции распределения вероятности получим:

. (21)

Это выражение - функция распределения Максвелла по компонентам скоростей. Функция определяет вероятность нахождения молекул в интервале скоростей от до .

Вероятность нахождения молекул в интервале скоростей от до равна . Для нахождения доли молекул, скорости которых лежат в интервале скоростей от до нужно вычислить интеграл:

. (22)

Условие нормировки :

.

При повышении температуры системы молекул понижается максимум функции, увеличивается число молекул с большими скоростями, однако, площадь, ограниченная графиком и осью , должна остаться без изменения.

Примеры решения вопросов, связанных с содержанием модуля VIII.

Пример 1. Используя распределение по компонентам скоростей, найти среднее значение квадратов скоростей молекул по оси ОХ .

Решение. .

Выделим малые интервалы . На каждый интервал приходится число молекул , скорости которых находятся в интервале . Так как на любом интервале меняется непрерывно, переходим от суммирования к интегрированию:

.

Используя , заменим :

.

.

.

Пример 2. Найти среднее значение положительных проекций (среднее значение в положительном направлении оси ОХ).

Решение. .

Используя , получим

.

Интеграл равен , получаем

.

Проектные задания к модулю VIII:

1.Изобразить функцию распределения молекул газа по проекциям V_x скоростей.

В области положительных проекций скоростей отметить скорость V_x1 и

V_x2 =2V_{x1 .} Как отличаются количества молекул, имеющих проекции скоростей в интервале от 0 до V_x1, от количества молекул, имеющих проекции скоростей в интервале от V_x1 до V_x2 ?

2.Используя распределение Максвелла по компонентам скоростей, найти число молекул газа, ударяющихся в единицу времени о единицу поверхности.

3.Используя распределение Максвелла для компонент скоростей, найти давление газа на стенку сосуда, если температура газа Т и концентрация n молекул известны.

4.Определить для равновесного газа: а) ; б) ; в) долю молекул с ; г) долю молекул с . Здесь – компоненты скорости молекул вдоль осей x, y, z, соответственно, – наиболее вероятное значение .

5.Записать распределение Максвелла для компоненты скорости молекул в виде – функции от переменной , где – наиболее вероятное значение модуля скорости молекулы. Написать выражение, определяющее долю молекул, у которых , где – некоторое число. Нарисовать график зависимости от u функции и показать на нём .

Тестовые задания к модулю VIII:

1.Установление в системе частиц распределения Максвелла свидетельствует о том, что система частиц:

1)нестабильна

2)находится в состоянии статистического равновесия

3)изолирована

4)не находится в состоянии статистического равновесия

2.Максимум функции распределения молекул по компонентам скоростей соответствует величине :

1)>0 2)<0 3)=0 4)ответ зависит от массы частиц

3.Каким значениям соответствует обсуждаемое в этом модуле распределение частиц:

1)>0 2)<0 3)0< < 4)- < <

4.Среднее значение равно:

1)0 2)kT 3)0,5kT 4)2kT

5.При увеличении температуры максимум функции распределения по компонентам скоростей:

1)не изменится

2)сместится влево

3)сместится вправо

4)уменьшится по величине

Модуль IX. Распределение частиц по модулям скоростей движения.

Цель модуля – получение функции распределения частиц по величинам скоростей. Изучение изложенного в модуле материала позволит понять вероятностный смысл функции распределения молекул по величинам скоростей, проводить анализ зависимости функции распределения от температуры и других параметров.

Для упрощения решения этой задачи вводят пространство скоростей и соответствующие оси координат , и .

Конец вектора скорости молекулы, проведенного из начала этой системы координат, определит «скоростную точку», вокруг которой выделим элемент «скоростного объёма» :

(27)

В этот объем dV попадают концы векторов, изображающих скорости, компоненты которых находятся в интервалах Vx+dVx, Vy+dVy, Vz+dVz.

Вероятность попадания молекул в единичный объем пространства скоростей найдем, используя вероятностный смысл полученных функций распределения по компонентам скоростей и правило произведения вероятностей:

(28)

С другой стороны, в шаровом слое, заключенном между сферами радиусов V и V+dV, т.е. в шаровом слое пространства скоростей объема 4πV²dV будет dN концов векторов, изображающих скорости dN молекул, величины скорости которых заключены в интервале . При этом вероятность пребывания молекул в единичном объеме скоростей определится выражением

(29)

Используя (28) и (29), получим:

(30)

–функция распределения Максвелла для модулей скоростей, определяет вероятность нахождения скорости молекулы в единичном интервале скоростей от V до V+1 (функция распределения плотности вероятности).

Условие нормировки

(31)

При решении задач на распределение молекул по скоростям удобно ввести безразмерную величину , где – наиболее вероятная скорость молекул. То есть, скорость V измеряется в единицах .

При этом удобно использовать таблицу 1, в которой приведены значения , соответствующие различным u.

Таблица 1.

u		u		u
0	0	0,9	0,81	1,8	0,29
0,1	0,02	1,0	0,83	1,9	0,22
0,2	0,09	1,1	0,82	2,0	0,16
0,3	0,18	1,2	0,78	2,1	0,12
0,4	0,31	1,3	0,71	2,2	0,09
0,5	0,44	1,4	0,63	2,3	0,06
0,6	0,57	1,5	0,54	2,4	0,04
0,7	0,68	1,6	0,46	2,5	0,03
0,8	0,76	1,7	0,36

Если необходимо оценить число молекул , скорости которых превышают заданную величину u, удобно использовать таблицу 2.

Таблица 2.

u		u		u
0	1,000	0,6	0,868	1,25	0,374
0,2	0,994	0,7	0,806	1,5	0,213
0,4	0,957	0,8	0,734	2,0	0,046
0,5	0,918	1,0	0,572	2,5	0,0057