14. Критерии устойчивости линейных систем.

Критериями устойчивости называются правила, позволяющие исследовать устойчивость системы без непосредственного нахождения корней характеристического уравнения. С помощью критериев не только устанавливается факт устойчивости или неустойчивости системы, но и оценивается влияние тех или иных параметров и структурных изменений в системе на устойчивость. Математически все формы критериев устойчивости эквивалентны, т.к. они определяют условие, при которых корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости корней.

15. Критерий Гурвица

Критерий Гурвица - алгебраический критерий, позволяющий в аналитической форме связать условия устойчивости с параметрами системы и выделить область устойчивости.

Формулировка критерия: если характеристическое уравнение n-ой степени имеет вид то для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы при c_n>0 все n определителей Гурвица D₁, D₂,...,D_n , составленные по определенной схеме были положительны.

Определители Гурвица составляются с помощью таблицы (квадратной матрицы коэффициентов, содержащую n строк и n столбцов ) по правилам:

1. Выписываются по диагонали все коэффициенты характеристического уравнения начиная с c_n-1.

2. Заполняются горизонтальные строки - справа от данного коэффициента записываются коэффициенты с возрастающими индексами, а слева - с убывающими индексами. В строках, где индекс коэффициентов меньше нуля или больше n, ставятся нули.

3. Соответствующий определитель D_i получается отчеркиванием i-ой строки и i-го столбца.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно выполнение условий:

и т.д.

Необходимым условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения, т.е.

16. Критерий Михайлова

Критерий Михайлова - частотный критерий, позволяющий судить об устойчивости замкнутой (или разомкнутой) системы по поведению ее характеристического вектора на комплексной плоскости.

Характеристический вектор получаем путем подстановки в выражение для характеристического полинома значение p = jw.

Если задаваться различными значениями w и откладывать Re(D(jw)) по горизонтальной, а Im(D(jw)) по вертикальной осям декартовой системы координат, то будет получена кривая называемая годографом характеристического вектора или годографом Михайлова. Годограф Михайлова начинается (при w = 0) в точке с₀ на вещественной оси, а при w=∞ уходит в бесконечность в соответствующем квадранте.

Оценка устойчивости системы осуществляется по углу поворота характеристического вектора при изменении частоты w от 0 до ∞, т.е. по приращению D аргумента характеристического вектора

Формулировка критерия: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы ее характеристический вектор при изменении частоты от 0 до ∞ повернулся в положительном направлении (против часовой стрелки), начиная с положительной вещественной оси, на число квадрантов, равное порядку характеристического уравнения

годограф Михайлова для устойчивых систем

годограф Михайлова для неустойчивых систем

Вторая формулировка критерия Михайлова (критерий перемежаемости корней)

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы корни уравнений Im(D(jw))=0 и Re(D(jw)) = 0 перемежались (чередовались), т.е. чтобы выполнялось условие

Этой формулировкой удобно пользоваться для исследования устойчивости систем описываемых дифференциальными уравнениями до 5-го порядка.