2. Анализ мультипликативной модели

В некоторых временных рядах значение сезонной вариации – это определенная доля трендового значения, то есть сезонная вариация увеличивается с возрастанием значений тренда. В таких случаях используется мультипликативная модель.

Для мультипликативной модели фактическое значение A = трендовое значение T × сезонная вариация S × ошибка E.

Пример 7. В таблице указан объем продаж (тыс. руб.) за последние 11 кварталов. Дадим на основании этих данных прогноз объ­ема продаж на следующие два квартала.

Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Объем продаж	63	74	79	120	67	79	88	130	69	82	90

Числа 2-го столбца приведенной далее таблицы делим на числа 4-го столбца и результат (округляем до трех цифр после запятой) запишем в 5-й столбец.

Номер квартала	Объем продаж	Скользящая средняя за 4 квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной вариации
1	63
2	74
3	79	84	84,5	0,935
4	120	85	85,625	1,401
5	67	86,25	87,375	0,767
6	79	88,5	89,75	0,880
7	88	91	91,25	0,964
8	130	91,5	91,875	1,41
9	69	92,25	92,5	0,746
10	82	92,75
11	90

	Номер квартала в году
	1	2	3	4
			0,935	1,401
	0,767	0,880	0,964	1,415
	0,746				Сумма
Среднее	0,756	0,880	0,950	1,408	3,994
Скорректированная сезонная вариация	0,757	0,881	0,952	1,410	4,000

Значения сезонной вариации – это доли. Число сезонов равно 4. Поэтому необходимо, чтобы сумма средних была равна 4. У нас же получилось 3,994. Следовательно, итоговые коэффициенты сезонно­сти нужно умножить на множитель 4/3,994. В последней строке ука­заны окончательные коэффициенты сезонности.

Как показывают полученные оценки, в 1-м, 2-м и 3-м кварталах го­да объем продаж снижается соответственно на 24,3%, 11,9% и 4,8% от соответствующих трендовых значений. В 4-м квартале года объем про­даж увеличивается на 41% от соответствующего трендового значения.

Исключим сезонную вариацию из фактических данных. Прове­дем десезонализацию данных. Числа 2-го столбца таблицы делим на числа 3-го столбца, результат округляем до одной цифры после запя­той и пишем в 4-й столбец.

Номер квартала	Объем продаж А	Сезонная вариация S	Десезонализированный объем продаж A/S=T×Е
1	63	0,757	83,2
2	74	0,881	84,0
3	79	0,952	83,0
4	120	1,41	85,1
5	67	0,757	88,5
6	79	0,881	89,7
7	88	0,952	92,4
8	130	1,41	92,2
9	69	0,757	91,1
10	82	0,881	93,1
11	90	0,952	94,5

Уравнение линии тренда T = a + bx.

Используя результаты пункта 1, найдем коэффициенты a и b по дан­ным первого и последнего столбцов.

Трендовое значение объема продаж = 81,6 + 1,2 × (номер квартала). Теперь займемся расчетом ошибок.

Номер квартала	Объем продаж A	Коэффициент сезонности S	Десезонализированный объем продаж A – S = T + E	Трендовое значение	Ошибка еt	| еt |	еt2
1	63	0,757	83,2	82,8	0,4	0,4	0,16
2	74	0,881	84,0	84	0,0	0,0	0,00
3	79	0,952	83,0	85,2	-2,2	2,2	4,84
4	120	1,41	85,1	86,4	-1,3	1,3	1,69
5	67	0,757	88,5	87,6	0,9	0,9	0,81
6	79	0,881	89,7	88,8	0,9	0,9	0,81
7	88	0,952	92,4	90	2,4	2,4	5,76
8	130	1,41	92,2	91,2	1,0	1,0	1,00
9	69	0,757	91,1	92,4	-1,3	1,3	1,69
10	82	0,881	93,1	93,6	-0,5	0,5	0,25
11	90	0,952	94,5	94,8	-0,3	0,3	0,09
					Сумма	11,2	17,10

Среднее абсолютное отклонение MAD = ∑│e_t│/ n = 11,2/11 ≈ 1, среднеквадратическая ошибка MSE = ∑│e_t²│/ n = 17,1/11 ≈ 1,6. Мы ви­дим, что ошибки малы и составляют порядка 1%. Это позволяет полу­чить хорошие краткосрочные прогнозы.

Дадим прогноз объема продаж на следующие два квартала. Мы считаем, что тенденция, выявленная по прошлым данным, сохранится и в ближайшем будущем. Подставляем номера кварталов в форму­лу и учитываем сезонную вариацию.

Прогноз объема продаж в 12-м квартале: (81,6 + 1,2×12) × 1,41 % ≈ 135,4 тыс. руб. Прогноз объема продаж в 13-м квартале: (81,6 + 1,2×13) × 0,757 ≈ 73,6 тыс. руб.

Замечание. Excel позволяет быстро вычислить оценки методом скользящей средней. Сервис → Анализ данных → Скользящее сред­нее → ОК. Появляется диалоговое окно, которое нужно заполнить. В графе Интервал вводится количество сезонов, для которых вычис­ляется скользящее среднее (по умолчанию это 3). Если требуется гра­фик, на котором будут указаны прогнозные и фактические значения, то нужно поставить «галочку» рядом со словосочетанием Вывод гра­фика. ОК. Появляется итоговая таблица, которая содержит исходные данные и оценки, полученные методом скользящей средней. Если оценка находилась как среднее k слагаемых, то в таблице оценок она находится напротив последнего из этих k слагаемых.