2º. Подвижный и неподвижный аксоиды твердого тела

2.1. Подвижный аксоид и его уравнения

Запишем уравнение (3.13.2) в виде

, , . (3.13.3)

Пусть в правой части (3.13.3) вектор  задается своими проекциями на подвижные оси  :

.

Тогда вектор  , стоящий в левой части (3.13.3), определяется координатами в тех же подвижных осях:

.

Будем смотреть на величины  и как на обобщенные координаты геометрической точки  , имеющей положение в системе . При таком рассмотрении правую часть (3.13.3) можно трактовать как вектор-функцию  , задающую связь обобщенных координат ,  точки  с ее декартовыми координатами в подвижной системе .

В координатной форме эта связь записывается в виде:

, , . (3.13.4)

Система координат  является связанной системой для твердого тела, совершающего сферическое движение. Уравнение (3.13.3), рассматриваемое при фиксированном значении времени  , задает в ней положения всех таких точек  , которые в этот момент находятся на мгновенной оси вращения твердого тела.

Если рассматривать уравнение (3.13.3) при всех значениях и из области их изменения, то легко заметить, что оно определяет в системе  годограф вектор-функции  .

Годограф образует в подвижном пространстве поверхность, которая состоит из точек пространства  .

Каждая точка ее хотя бы в один момент времени  принадлежит мгновенной оси вращения твердого тела.

Уравнения (3.13.4) являются параметрическими уравнениями указанной поверхности. Эту поверхность можно трактовать как абсолютно твердое тело, для которого служит связанной системой координат.

Определение 3

Поверхность, задаваемая векторным уравнением (3.13.3) в пространстве или в координатной форме системой уравнений (3.13.4), называется подвижным аксоидом.

Легко видеть, что подвижный аксоид является конической поверхностью с вершиной в неподвижной точке .

На это указывают уравнение (3.13.3)

, , , (3.13.3)

и уравнения (3.13.4)

, , , (3.13.4)

ибо (3.13.3) является векторным уравнением такой поверхности, а (3.13.4) — ее уравнениями в координатной форме.

2.2. Неподвижный аксоид и его уравнения

Запишем теперь уравнение (3.13.2) в виде:

, , . (3.13.5)

Будем считать, что векторы и определяются, соответственно, проекциями и на неподвижные оси, т.е.

, .

Тогда в координатной форме уравнение (3.13.5) примет вид:

(3.13.6)

Если рассматривать всю совокупность точек в пространстве  , координаты которых определяются правыми частями уравнений (3.13.6), то такая совокупность представляет собой двух параметрическое геометрическое место точек, образующее поверхность в абсолютном пространстве.

Каждая точка этой поверхности обладает следующими свойствами:

прямая, проходящая через нее (точку) и начало координат  , содержит все положения, которые занимают в абсолютном пространстве точки мгновенной оси вращения твердого тела хотя бы в один момент времени  .

Определение 4

Поверхность, задаваемая в пространстве векторным уравнением (3.13.5) или в координатной форме системой уравнений (3.13.6), называется неподвижным аксоидом.

Неподвижный аксоид, как и подвижный, является конической поверхностью с вершиной в неподвижной точке .

Это следует из вида уравнений (3.13.5) и (3.13.6):

, , , (3.13.5)

(3.13.6)