II. Формула Бейеса

Пример 4. В условиях примера 5 наудачу взятая деталь оказалась стандартного качества. Какова вероятность того, что эта деталь изготовлена на станке 2-го типа .

Решение. - вероятность гипотезы до испытания (до появления события ), - после испытания.

Пример 5. Экономист полагает, что в течение периода активного экономического роста американский доллар будет расти в цене с вероятностью 0,7, в период умеренного экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,4, и при низких темпах экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,2. В течение любого периода времени вероятность активного экономического роста равна 0,3, в периоды умеренного экономического роста – 0,5 и низкого роста – 0,2. Предположим, доллар дорожает в течение текущего периода, чему равна вероятность того, что анализируемый период совпал с периодом активного экономического роста?

Решение. Определим гипотезы: Н₁ – «активный экономический рост»; H₂ – «умеренный экономический рост»; H₃ – «низкий экономический рост».

Определим событие А – «доллар дорожает». Имеем: Р(Н₁) = 0,3; Р(Н₂) = 0,5; Р(Н₃) = 0,2; Р(А/Н₁) = 0,7; Р(А/Н₂) = 0,4 и Р(A/Н₃) = 0,2. Найти: Р(Н₁/А).

Используя формулу Бейеса (2.6) и подставляя заданные значения вероятностей, получаем:

Можно получить тот же результат при помощи таблицы:

Гипотезы Hi	Априорные вероятности P(Hi)	Условные вероятности P(A/Hi)	Совместные вероятности Р(A∩Hi)	Апостериорные вероятности P(Hi/А)
H1	0,30	0,70	0,21	0,21/0,45 = 0,467
H2	0,50	0,40	0,20	0,20/0,45 = 0,444
H3	0,20	0,20	0,04	0,04/0,45 = 0,089
Сумма	1,00	–	0,45	1

III. Повторение испытаний. Формула Бернулли

Пример 6. Вероятность попадания при каждом выстреле . Найти вероятность попадания ровно 4 раза из 6 выстрелов.

.

Пример 7. Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна р. Куплено n билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.

Решение. Имеем схему независимых испытаний, p=0,3; n= 13. Найдем наивероятнейшее число по формуле [(n+1)p], т.к. (n+1)p – дробное. Искомое число будет [4,2]=4, а соответствующую вероятность вычислим по формуле Бернулли = .

IV. Теоремы Лапласа

Пример 9. Вероятность наступления некоторого события в каждом из n независимых испытаний равна p. Определить вероятность того, что число наступления событий удовлетворяет неравенству .

Решение. Так как n велико и требуется определить вероятность события при то применим интегральную формулу Лапласа: .

По формулам , где , вычислим аргументы функции Лапласа и по таблице найдем соответствующие значения функции.

V. Формула Пуассона

Пример 10 . На изготовление 1000 булочек затрачено 5000 изюминок. Какова вероятность того, что в случайно взятых булочках окажется меньше 3 изюминок.

Решение. Обозначим событие А- в булочке меньше 3 изюминок, тогда

λ=np=5000·0,001=5, тогда

Пример8 . Вероятность сбоя в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,012. Поступило 1000 вызовов. Определить вероятность 9 сбоев.

Решение. В формулу Пуассона подставим n=1000, k=9, p=0,012, тогда получим

0,09.