Примеры непрерывных распределений

1. Равномерное распределение

,

2. Биномиальное распределение

3. Нормальное распределение (с параметрами )

4. Показательное распределение

5. Распределение Коши

6. Распределение Пуассона

2. Числовые характеристики случайных величин.

Случайные величины помимо законов распределения, могут также описываться числовыми характеристиками, среди которых различают характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана и др.) и характеристики рассеяния (дисперсия, среднеквадратичное отклонение, различные моменты распределения порядка выше первого и др.)

Математическим ожиданием (средним значением по распределению) называется действительное число, определяемое в зависимости от типа случайной величины X формулой

Вероятностный смысл математического ожидания таков: математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Если производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна , то математическое ожидание числа появления события равно:

Задача 1. Бросаются две симметричные игральные кости. Х - сумма очков на двух костях. Найти математическое ожидание суммы очков на двух костях.

Решение: Обозначим - количество очков на первой кости - количество очков на второй кости, тогда , причем и - независимые случайные величины.

Вероятность каждого события равна Составим таблицу:

у/z		1	2		3		4		5		6
1		2	3		4		5		6		7
2		3	4		5		6		7		8
3		4	5		6		7		8		9
4		5	6		7		8		9		10
5		6	7		8		9		10		11
6		7	8		9		10		11		12
х	2			3		4		5		6		7		8	9	10	11	12
P

Отклонением называют разность между случайной величиной и её математическим ожиданием:

Определение. Дисперсией случайной величины называется неотрицательное число , определяемое формулой

Определение. Средним квадратическим отклонением называют т.е. .

Вероятностный смысл дисперсии. Дисперсия характеризует разброс (рассеяние) значений случайной величины.

Если производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна , то дисперсия числа появления события равна:

, где .

Для распределения Пуассона характерной особенностью является совпадение математического ожидания и дисперсии, причем

Задача 2. Дана плотность распределения случайной величины . Найти параметр , математическое ожидание , дисперсию , функцию распределения случайной величины , вероятность выполнения неравенства .

Решение:

Функция плотности обладает свойством:

При начальных условиях и , функция примет вид:

Зная можно для непрерывной случайной величины найти и по формулам:

По формуле определим функцию распределения случайной величины :

зная которую, найдем вероятность неравенства

Ответ: