3 Звено сау с чистым запаздыванием. Его свойства, передаточная функция. Влияние запаздывания на устойчивость системы. Примеры

Нарисовать блок звена.

Его свойства определяются:

τ – время запаздывания, y(t)=kx(t-τ) (1).

Примеры: 1)Длинный трубопровод τ =1 час. –время распространения давления по трубопроводу

2)Линия радиосвязи τ – время прохождения сигнала.

3)Камера сгорания ЖРД, τ ­- это время от начала подачи топлива до его сгорания. Для того, чтобы выражение (1) представить в операторной форме x(t- τ) раскладывают в ряд Тейлора, затем переписывают, используя оператор дифференцирования р. Получают выражение – передаточная функция Передаточной функции соответствует частотная передаточная функция:

- АЧХ

- ФЧХ

АФХ:

4 Идеальное и реальное дифференцирующие звенья, их временные и частотные характеристики. Примеры

Идеальное дифференцирующее звено-это звено, передаточная функция которого имеет вид W(p)=kp

Пример: тахогенератор и дифференциатор на ОУ

Пример: дифференциатор на оу

; RC=K, W(p)=kp

Реальное дифференцирующее звено. –звено, передаточная функция которого имеет вид: W(p)=(kp)/(1+pT). нарисовать блок

Пример: RC-цепь, RL цепь

;

АЧХ:

ФЧХ:

ПХ:

5 Инерционное и интегрирующее звенья, их временные и частотные характеристики. Примеры

Инерционное звено (апериодическое)-звено, которое описывается дифференциальным уравнением: Ty'+y=kx, его передаточная функция W(p)=k/(1+Tp).нарисовать блок

ККП:W(jω)=k/(1+jωT),

АЧХ :

ФЧХ=-arctg ωT

ПХ: h(t)-k(1-e^-t/T)

Примеры: усилители мощности, термопара: x- температура, y- термо ЭДС, двигатель постоянного тока: x-ток якоря, y-скорость вращения, тепловой двигатель: x-подача топлива, y-скорость вращения, RC- цепь, LR цепь.

Интегрирующее звено-звено, сигналы на выходе которого пропорциональны интегралу входного сигнала. Его уравнение y=K∫xdt, а передаточная функция W(p)=k/p

Интегрирующее звено м. использ-ся для запоминания входной величины. Идеальное интегрирующее звено запоминает то значение y, к-ое было в момент снятия сигнала х.

Пример интегрирующего звена –интегратор на ОУ:

, , , , , , .

Общие свойства интегрирующих звеньев:

1) Звенья вносят отрицательный фазовый сдвиг.

2) Звенья плохо передают высокочастотные колебания.

3) Выходная координата звена может не равняться 0 при х=0.

6 Колебательное звено, анализ его свойств по передаточной функции. Примеры

Колебательное звено-звено, дифференциальное уравнение которого имеет вид: T₂²y′′+T₁y′+y=KX, 0<T₂/2<T₂ , передаточная функция имеет вид: W(p)=1/(T²p²+2Tp+1)

Пример: колебательный контур

Обозначим T₁=RC, T₂=√LC, тогда D(p)= T₂²p²+T₁p+1

Для удобства рассмотрения характеристический полином D(p) представим в виде D(p)= T₂²p²+T₁ δp+1, где δ– дикремент затухания-определяет характер процессов в колебательном звене.

Это звено может возвращаться в исходное состояние по окончанию воздействия на него колебательным или монотонным образом. Физически колебательное звено содержит 2 элемента разного вида, способных накапливать энергию, а так же 1 или несколько элементов способных рассеивать энергию.

,

,

ξ<1 – коэффициент демпфирования. Характеристическое уравнение: T²p²+2ξTp+1=0, p_1,2=-γ± jλ.

Определим АЧХ: ,

определим производную знаменателя и приравняем к 0. .

Определим ФЧХ:

7 Критерий устойчивости Рауса-Гурвица. Используя критерий, исследовать при каких значениях k система с характеристическим полиномом устойчива

Значение управляемой величины системы y(t) в каждый момент времени может быть представлено в виде суммы установившейся и переходной составляющих. y(t)=y_уст(t)+y_перех(t)

САУ считается устойчивой, если lim y_перех(t)=0

Для того чтобы все корни характеристического уравнения

D(p)=a₀pⁿ+a₁p^n-1+ …+aⁿ =0 были вещественными отрицательными или комплексными с отрицательной вещественной частью, необходимо и достаточно, чтобы при a₀>0 все определители Гурвица,

имеющие вид:

были положительными.

Для уравнений, в которых n<=5 – более простая формулировка:

чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты этого уравнения были положительными и определитель был положительным.

Порядок уравнения	Требования устойчивости
1	,
2	, ,
3	, , , , и
4	,
5	,

Для n>5 получаются громоздкие выражения.

Задача

Используя критерий, исследовать при каких значениях k система с характеристическим полиномом устойчива.

Условие устойчивости для полинома 4-го порядка:

, где - коэффициенты полинома, - определитель Гурвица третьего порядка

Так как , то .

Значит будет положительным, если .

Так как , то условие не выполняется.

Значит система неустойчива при любом .