Задание с3. Определение центра тяжести фигуры
Две однородные прямоугольные пластины, приваренные под прямым углом друг к другу, образуют угольник. Размеры пластин в направлениях, параллельных координатным осям х, у, z равны соответственно или , и (рис.С2.0 – С2.4), или , и (рис. С2.5 – С2.9). Силы тяжести большей и меньшей пластин (рис.С2.0 – С2.4) соответственно равны 5 кН и 2 кН, для рис. С2.5 – С2.9 силы тяжести пластин одинаковы и равны 4 кН. Каждая из пластин расположена параллельно одной из координатных плоскостей (плоскость ху горизонтальная).
Из угольника вырезана фигура в виде треугольника, расположение которого обозначено точками (таблица С3), точки находятся по краям или в серединах сторон пластин. Вычислить координаты центра тяжести угольника с вырезом для обозначенных на рисунках систем координат. При расчетах принять = 0,5 м. Толщиной пластин пренебречь.
Таблица С 3
Указания
Решение задач на определение центра тяжести плоской фигуры рекомендуется проводить в следующем порядке:
1. исследуемую конструкцию разбить на части, для которых положение центра тяжести известно или его можно легко определить, например, простейшие геометрические фигуры, при этом считать, что вырезанные из конструкции части (фигуры) обладают отрицательной площадью;
3. определить площади частей конструкции;
4. найти координаты центров тяжести частей конструкции в выбранной системе координат;
5. найденные значения подставить в формулы:
,
,
где Si - площади частей конструкции, хi, уi, zi – координаты центра тяжести частей конструкции и произвести вычисления.
Пример выполнения задания с3.
Две однородные прямоугольные пластины, приваренные под прямым углом друг к другу, образуют угольник. Размеры пластин в направлениях, параллельных координатным осям х, у, z равны соответственно , и . Вес большей из пластин равен G1 = 5 кН, вес меньшей – G2 = 2 кН. Каждая из пластин расположена параллельно одной из координатных плоскостей (плоскость хАу горизонтальная).
Из угольника вырезана фигура в виде прямоугольного равнобедренного треугольника, расположение которого обозначено буквами ЕОК (гипотенуза совпадает с прямой ЕО). Вычислить координаты центра тяжести пространственной фигуры в виде угольника с вырезом для обозначенной на рисунке системы координат.
При расчетах принять = 0,5 м. Толщиной пластин пренебречь.
Решение
Для решения задания, прежде всего, сделаем рисунок изучаемой конструкции с вырезом в меньшей плите.
Для решения задачи целесообразно применить метод разбиения тела на части, координаты центров тяжести которых легко подсчитываются (большая пластина и меньшая пластина), с использованием способа отрицательных площадей - вырезанный треугольник будем считать телом с отрицательной площадью. Центр тяжести С1 большей пластины находится на пересечении ее диагоналей
центр тяжести С2 меньшей плиты без выреза находится на пересечении ее диагоналей
а центр тяжести С3 выреза в виде треугольника находится на пересечении медиан
В результате получается следующий рисунок
Координаты центров тяжести частей конструкции С1, С2 и С3 для указанной на рисунке системы координат равны
=
,
=
,
;
=
,
=
,
;
=
,
=
,
.
Площади каждого из тел равны:
- большая пластина S1 = 2ℓ·3ℓ = 6ℓ2;
- меньшая пластина S2 = ℓ·3ℓ = 3ℓ2;
- треугольник S3
=
= 0,25ℓ2.
Используя формулы координат центра тяжести тела по методу отрицательных площадей, найдем требуемые координаты центра тяжести С всей конструкции:
,
=
,
,
где S1, S2, S3 – площади соответственно большей и меньшей пластин, а также выреза в виде треугольника.
Для вычисления координат центра тяжести всей конструкции остается подставить в полученные формулы заданное значение = 0,5 м.