§2. Математика в древних государствах.

2.1. М-ка в Др.Вавилоне. (1.2.)

Это ряд государственных образований, к-рые располагались на ср. Востоке, в междуречье Тигра и Евфрата (2000 − 200 гг. до н.э.).

В период наивысшего подъема (вторая половина 18 в. до н.э.) развивается промышленность и торговля, → развитие денежной системы: первоначально денежными единицами считались меры зерна или серебра, → необходимо было уточнение всей системы мер, → создана система мер, аналогичная метрической, только в основе лежало не число 10, а число 60. Полностью эта система выдерживалась у вавилонян для измерения времени и углов, и мы унаследовали от них деление час на 60 минут, а минуты на − 60 секунд.

Вавилоняне хорошо изучили движение Луны и определили продолжительность лунного месяца в 30дней. Более мелкой единицей для измерения времени служила семидневная неделя.

Существует предположение, что разделение года на 360 дней и дало вавилонянам повод разделить полную окружность на 360 частей − «шагов», как они именовали эти части, полагая, что Солнце делает при своем видимом обращении вокруг Земли один шаг в сутки. Это деление окружности на 360 равных частей сохранилось и до нашего времени, причем каждую часть мы называем «градус», что и означает в переводе с латинского «шаг». → Привело к созданию шестидесятеричной системы счисления.

До настоящего времени сохранилось множество плоских табличек из глины, часть которых содержит тексты м-го содержания, а также м-кие числовые таблицы без текста.

Вслед за развитием навыков в ариф-х вычислениях последовало накопление понятий более сложного характера и вычислений высшего порядка. Вавилоняне научились извлекать квадратные корни из чисел и дали для этого способы приближенных вычислений. Однако они были столь сложны, что практически вавилоняне пользовались главным образом готовыми таблицами. Также они имели таблицы для извлечения корней третьей степени и для возведения чисел во вторую степень.

Решали некоторые уравнения первой, второй и даже третьей степени.

Геометрические сведения вавилонян были довольно разнообразны. Хотя у них и не существовало ни аксиом, ни теорем, ни доказательств, но в и их записях можно найти достаточно з-ч, решение которых указывает на умение разбираться в довольно сложных построениях.

2.2. М-ка в Др.Египте. (1.2.)

Др.Египет − г-во в северо-восточной Африке, в течении реки Нил (один из древнейших очагов цивилизации).

По мере оседания кочевого населения на более плодородных почвах, стало развиваться земледелие (значительный фактор − разливы Нила в одно и то же время года), → необходимость как-то зафиксировать в памяти годовой промежуток времени (он отсчитывался по восходу звезды Сириус). Промежуток между двумя ранними восходами Сириуса был принят ими за год, содержащий в себе 365 дней. Год египтяне разделили на 12 месяцев по 30 суток в каждом, а в конце добавлялись еще 5 дней (праздничные). Каждые сутки делились на 24 часа: 12 дневных и 12 ночных.

Зарождение египетской культуры началось за 4000 лет до н.э., вероятнее всего, что именно в эту эпоху (как полагают ученные) были созданы египетская письменность (иероглифы: каждое понятие изображалось в виде отдельного рисунка; затем появилась иератическая запись) и запись числа.

Египтяне использовали только аликвотные дроби (в современной записи они в числителе имеют единицу).

Записи производились красками на папирусе (иногда камень, дерево, кожа, холст, черепки). До нас дошли 2 древних мат-х папируса. Это папирус, написанный Ахмесом примерно в 1700 г.г. до н. э., приобретенный в 1858 г. английским собирателем Райндом (папирус Райнда), сейчас хранится в Британском музее в Лондоне. И существует так называемый Московский папирус (написан около 1850 г. до н.э.), хранится в Музее изобразительного искусства им. А.С. Пушкина в Москве.

В этих папирусах присутствуют довольно сложные вычисления, производимые не только над целыми числами, но и над дробными числами. Встречаются и вопросы, связанные с арифметической и геометрической прогрессиями (подобного рода последовательности довольно часто наблюдаются в жизни). Много задач геометр-го характера, связанные с определением площадей и объемов с/х построек и размеров полей.

Однако, м-ка египтян, как и м-ка вавилонян носила опытный характер, была множеством эмпирических знаний, способов, но эти знания были еще очень далеки от науки.

2.3. М-ка в Др.Китае. (1.2.)

Китайская культура − одна из самых древних на земном шаре.

В Китае рано начались накапливаться сведения м-го характера, и появилась запись чисел.

Одним из наиболее интересных документов м-го содержания очень древнего происхождения является сочинение «Математика в девяти книгах» (2637 г. до н.э.).

В этой книге разбираются алгебраические в-сы: в книге 3 − з-чи на разделение имущества между несколькими лицами, причем отношение частей выражается преимущественно прогрессиями; в книге 4 − ставится в-с об извлечении корней второй и третьей степени; в книге 6 − распределение налогов и определение стоимости товара; в книге 8 − решаются уравнения и разъясняются случаи употребления сложения и вычитания. Книги 1, 5 и отчасти 4 содержат геометрический характер, причем в книге 1 приводятся способы измерения полей различной формы: треугольник, четырехугольник, круглых и полукруглых. В книге 5 разбираются случаи практических задач, сводящихся к определению объемов, причем здесь встречаются определение объема призмы, пирамиды и конуса. В книге 8 − способ решения СЛУ, близкий к методу Гаусса. В книге 9 − некоторые понятия, относящиеся к геометрии прямоугольного треугольника.

Появился счетный прибор суан-пан, по конструкции напоминающий современные русские счеты (но он основан не на десятеричной системе счисления, как русские счеты, а в основе лежит смешанная пятеричная и двоичная система).

2.4. М-ка в Др.Индии. (1.2.)

За полторы тысячи лет до нашей эры индусы умели создавать книги. В их мат-х книгах содержались сведения о свойствах треугольников, об их подобии, о том, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, т.е. так называемая теорема Пифагора (однако имя Пифагора стало известно значительно позднее расцвета м-ких знаний в Индии).

Строительство в Индии требовало складывания фигур квадратной, треугольной и многоугольной формы, → известны свойства равностороннего треугольника, квадрата и правильных многоугольников; построение фигуры с заданной величиной площади (равновеликих фигур).

Индусы первыми заявили о том, что одна и та же цифра означает единицы, десятки, сотни или тысячи в зависимости от того, какое место эта цифра занимает в записи. Они стали употреблять «0» для обозначения отсутствия какого-либо разряда.

Разработка позиционной системы нумерации.

2.5. М-ка в Др.Греции. (2 период)

Основы м-кой науки были заимствованы у народов Востока, → греческая м-ка является непосредственной продолжательницей развития тех идей, которые зародились у народов Востока. Первые сведения о развитии м-ки появились ≈ в 7 веке до н.э. Начиная с этой эпохи, в Греции и ее колониях возникает ряд философско-м-ких школ, в недрах которых были сделаны первые научно-логические заключения.

▀Школа Фалеса.

Основатель − Фалес (ок.624-547 до н.э.), один из «семи мудрецов», родился в г. Милете (Гр. колония на Ионийском побережье Малой Азии).

Школе приписывается основное определение из арифметики: число есть совокупность единиц.

Фалес − первый ученый-геометр. В его школе были установлены и доказаны первые теоремы геометрии как истины, обобщающие наблюдения и требующих логических доказательств. Так, на основании свидельств историков мы можем утверждать, что Ф. были известны следующие положения:

∙вертикальные < =;

∙< при основании равнобедренного ∆ =;

∙диаметр делит ○ и ● пополам;

2 ∆= между собой, если они имеют по одной равной стороне и по два равных <, прилежащих к этой стороне (Th Фалеса).

Заложена основа учения о линиях и углах на плоскости.

▀Школа Пифагора.

Основатель − Пифагор, родился (ок.580-500 гг. до нашей эры) на острове Самосе, расположенном вблизи Ионийского побережья.

Пифагор пробыл в Египте около 22 лет и по возращении (ок.530 г. до н.э.) основал школу (пифагорейский союз).

В основе философии пифагорейского союза было положено мистическое учение о числе: основа стройности и порядка бытия, → было, положено начало теории чисел.

В школе Пифагора впервые появляется классификация чисел, которая имеет своеобразный характер: в основе или геометрические соображения, или соображения отвлеченного, философско-мистического характера. Так, например, геометрическим образом единицы служил квадрат; кубическими числами, являлись числа, разлагающиеся на три равные множителя, а телесными − числа, разлагающиеся на три не равных множителя; числа 1; 3; 6; 10; 15;… назывались «треугольными» (они получались путем сложения первых чисел натурального ряда:1; 1+2=3; 1+2+3=6 и т.д.).

Кроме того, все числа натурального ряда подразделялись на четные − «мужские» и нечетные − «женские» («гномоны»).

«Совершенное» число − сумма всех его делителей, за исключением самого числа, равнялась этому числу. Два числа, обладающие тем свойством, что сумма делителей каждого из них равняется другому, назывались «содружественными».

Весь мир, по мнению пифагорейцев, был построен на первых четырех нечетных и на первых четырех четных числах, а потому самой страшной клятвой у них считалась клятва числом 36 т.к. оно производило сильное впечатление на пифагорейцев своими качествами: с одной стороны, оно представляло сумму кубов первых чисел натурального ряда ( ), а с другой − является суммой первых четырех четных и первых четырех нечетных чисел: (2+4+6+8)+(1+3+5+7)=36.

Приписывание мистического значения числам сыграла в истории м-ки отрицательную роль. Но геометрическое представление чисел пифагорейцами способствовало развитию м-ки.

В школе шло развитие геометрической алгебры (все ее выводы основывались на геометрических соображениях). Было решение задачи о построении правильных многогранников, были построены все возможные их виды: тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, гексаэдр, додекаэдр.

ВАЖНОЕ открытие, доказательство теоремы, дающей зависимость между катетами и гипотенузой прямоугольного ∆, известной в истории под названием «теоремы Пифагора».

Выводы: в школе утвердилась одна из сторон м-го метода − рассуждение, а именно: в м-ку твердо вошло положение о необходимости строгих доказательств, что и придало м-ке значение особой науки.

▀Афинские школы.

В 5 в. до н.э. Афины − центр развития философской и м-кой мысли, причем философия неразрывно связана с м-кой.

К тому времени в Афинах сосредоточились лучшие представители м-кой мысли:

●Анаксагор (ок.500-428 до н.э.) (последователь школы Фалеса), первым внес в м-ку понятие о б.б. и б.м. величинах;

●Демокрит (ок. 460-320 до н.э.);

●Зенон Элейский (490-430 до н.э.);

●деятельность софистов (5 в. до н.э.).

В Афинах м-ка сделалась народным достоянием.

Были большие дискуссии по вопросу о делимости величин. Так, Анаксагор утверждал, что среди малых величин существует наименьшее, но уменьшение идет непрерывно, ибо существующее не может перестать существовать → вещь может быть делима до ∞, но любая ее часть всегда больше 0.

Научно-философская мысль в Греции на грани 5-4 вв. до н.э. сосредоточивалась главным образом в двух научных учреждениях Афин − Академии Платона и Ликее Аристотеля.

●В академии Платона м–ка занимала выдающееся место; применялся метод анализа, метод геометрических мест; были выработаны многие определения геометрического характера; изучалась призма, пирамида, цилиндр и конус.

Последователь этой академии Евдокс Книдский (ок.408-355 до н.э.) (основал чисто геометрическую школу) доказал V пирамиды = V призмы, имеющей с пирамидой общее основание и равные высоты, а также выведено аналогичное соотношение для V конуса и цилиндра.

Евдокс разработал вопрос о пропорциях и о делении отрезка в крайнем и среднем отношениях и в частности о «золотом сечении» (деление отрезка, при котором длина всего отрезка относится к длине большей его части как длина большей части относится к меньшей).

Геометр Менехм (4в. до н.э.) (из школы Евдокса) открыл 3 вида конических сечений (триада Менехма).

●Ликея основатель Аристотель − творец дедуктивной логики; впервые стал употреблять буквы алфавита для обозначения неопределенного количества.

▀Александрийские школы.

В 3 веке до н.э. Александрия достигла значительных высот в области м-ки − «золотой век». Для заведования м-кой школой при Птолемее I был приглашен Евклид (4-начало 3 в.в. до н.э.), мало исторических сведений о его жизни (неизвестны год рождения и смерти). Создал знаменитые «Начала», в которых систематически, согласно аксиоматическому методу изложена геометрия древних и их теория чисел.

В «Началах» (15 книг) Евклид дает строгое и логическое изложение всего геометрического материала, известного до него и дополненного им самим. Изложение строится при помощи дедуктивного метода: в основу положены некоторые определения и истины, не требующие доказательств, а все дальнейшие положения выводятся путем строгих доказательств, основанных или на этих истинах, или на положениях, полученных из них.

Архимед (ок. 287-212 до н.э.) родился в г. Сиракузы: «Исчисление песчинок» − в этой работе Архимед ставит задачей определить к-во песчинок, к-рые могли бы заполнить всю Вселенную, т.е. воображаемую сферу, центром которой является Земля, простирающаяся до границ области неподвижных звезд.

В своих геометрических сочинениях Архимед использовал 2 основных метода: механический (недостаточно обоснованный) и исчерпывания (предпосылки идей, к-рые через 2 тыс. лет вылились в метод интегрального исчисления). Так, метод исчерпывания использовался Архимедом в его работе «Измерение круга»: впервые в истории м-ки Архимед поставил задачу об измерении длины окружности и об определении приближенного значения числа , т.е. об отношении длины окружности к диаметру.

Эратосфен (ок.276-194 до н.э.), сверстник и друг Архимеда. Сочинение «Решето»: дается метод для выделения простых чисел. В сочинении «О средних величинах» дается практическое решение пропорций, составленных Гиппократом при его попытке дать ответ на задачу об удвоении куба, и описывает прибор (мезолябий), при помощи которого определяется ребро удвоенного куба по ребру данного.

Апполоний (ок.260-170 до н.э.), младший современник Архимеда и Эратосфена. Главный труд − «О конических сечениях» (привел в строгую систему сведения о конических сечениях, полученные его предшественниками, и одновременно раскрыл результаты своих новых исследований), посвящен изучению тех кривых, которые мы теперь именуем кривыми второго порядка. В другой его работе «О соприкосновениях» находится знаменитая задача Апполония о построении окружности, касательной к трем данным окружностям.

Герон Александрийский (ок. 1 в.), в работе «Метрика» приводятся правила и указания для точного и приближенного вычисления S-ей и V-ов различных фигур и тел; а также формула для определения S-ди ∆ по трем сторонам, вошедшая в м-ку под названием формулы Герона.

Никомах (конец 1 в. н.э.), его работа «Введение в арифметику» − первый труд по арифметике, к-рый содержал обзор начал пифагорейской теории чисел. Основная идея − классификация чисел, причем она проводится на основах, всецело опирающихся на числовую мистику.

Менелай Александрийский (1-2 вв.), написал трактат о сферических ∆ -х, в этом труде находится его знаменитая теорема, к-рую в современной трактовке можно изложить так: «Если какая-нибудь прямая линия пересекает три стороны ∆ и или их продолжения, то произведение трех отрезков, не имеющих общих точек, равно произведению трех других отрезков»

Клавдий Птолемей (ок. 90 – ок. 160), внес значительный вклад в развитие тригонометрии. Главная работа «Великое математическое построение астрономии в 13 книгах» или сокращенно «Мэгистэ» (в переводе с греческого − «величайшая» (в историю вошла под названием «Альмагест», впоследствии дали арабы)). Вычисляет величины хорд всех дуг от до , причем значения хорд даны для дуг через каждые . Для выполнения этой работы Птолемей ввел свою теорему, к-рая в и.м. носит названии теоремы Птолемея и формулируется так: «Произведение длин диагоналей, вписанного в круг четырехугольника, равно сумме произведений длин его противоположных сторон». Птолемей известен также тем, что он первый усомнился в очевидности постулата Евклида о параллельных прямых и делал попытки доказать его справедливость, тем самым положив начало длинному ряду подобных же попыток позднейших геометров, пока Н.И. Лобачевский не показал безуспешность таких доказательств, разъяснив их невозможность.

Папп (2-я пол 3 в.), ему принадлежало значительное число сочинений, из к-рых сохранилось лишь «Математическое собрание», но не в полном виде, оно содержит обзор трудов предшественников Папа, развивает некоторые их идеи, комментирует эти труды.

Диофант (ок. 3 в.), написал сочинение «Арифметика», включает главным образом вопросы алгебры и теории чисел. При решении уравнений Диофант признавал только положительные рациональные ответы, причем для квадратного уравнения он всегда вычислял только один ответ, даже если уравнение имело 2 рациональных и положительных корня. Каким методом он решал уравнение не известно.

Теон (4 в.), Гипатия (370-415 г.г.) (его дочь) − ученные, завершившие плеяду м-ков Александрийской школы. Теон, прокомментировал труды Евклида и Птолемея. Гипатия, комментировала труды Архимеда, Диофанта и Апполония.

ВЫВОД: более чем за полуторатысячелетний период времени м-кая наука в Греции имела значительные достижения, это относится главным образом к элементарной геометрии, которая в трудах Фалеса, Пифагора, Платона и в особенности Евдокса, Евклида и Архимеда приобрело то содержание, к-рое сохраняется и в настоящее время.

Развитию алгебры препятствовало то, что еще недостаточно вошли в употребление символические записи, намек на которые впервые встречается в трудах Диофанта, пользовавшийся лишь отдельными символами и сокращениями.

Тригонометрия же в Греции не получила самостоятельного значения, а являлась лишь вспомогательным вычислительным аппаратом для астрономических наблюдений.

2.6. М-ка ДР.Рима. (2 период)

За весь период Римского владычества в Европе (1-14 вв.) м-ка римлян оставалась на низком научно-теоретическом уровне развития и поэтому не имела влияния на последующее развитие науки. М-ка использовалась только для практических целей и при этом носила характер приближенных вычислений.

Метод записи чисел заимствован римлянами у древних этрусков (римское название одного из племен Др. Италии). Эта запись не давала возможности производить даже простейшие арифметические операции. В ней сохранились следы пятеричной системы счисления, числа выражались при помощи букв, а именно: 1; 5;10; 50; 100; 500 и 1000 обозначались соответственно буквами I; V; X; L; C; D; и M. Для обозначения нуля знака не было.

Вследствие затруднительности вычислений при римском способе записи для выполнения таковых римляне прибегали к помощи пальцевого счета или абака.

В Риме м-ка никогда не поднималась на большие высоты. Семь веков спустя после Евклида м-ка в Риме стояла еще на очень низком уровне развития. А после падения Александрийской школы и закрытия м-кой школы (529) в Афинах, во всей Европе наступила эпоха упадка м-ких знаний; эпоха, в течение которой м-кие науки не только не развивались, но снизились до уровня м-ких сведений самих отдаленных веков. Заметных сдвигов в развитии м-ки не было вплоть до 12 века. За весь период с 7 по 12 веков не было лишь несколько ученых, к-рые занимались м-кой.

Англосаксонский ученый монах Беда Достопочтенный (672 или 673 – ок. 735) в сочинении «Способ счисления времени» излагал метод вычисления «пасхалий» (дней празднования пасхи). В другом своем сочинении касался актуального для того времени вопроса о счете при помощи пальцев. Но во всех своих сочинениях он почти не упоминал о дробях и избегал деления целых чисел.

В год смерти Беды в Ирландии родился другой англосаксонский ученый эпохи «Каролинского возрождения», аббат Турского монастыря − Алкуин (ок.735-804). Им был составлен задачник по м-ке, к-рый надо считать родоначальником развлекательных книг по м-ке. В нем встречались остроумные задачи, некоторые из них дошли до нашего времени, причем встречались задачи не только на вычисление, но и на соображение. С этого времени появляются задачи на бассейны и трубы, вливающие в них воду и опоражнивающие их. Среди других задач Алкуина находится задача об определении суммы членов арифметической прогрессии при помощи установления равенства сумм членов, равностоящих от начала и конца.

Однако большинство задач требовало применения только целых чисел и первых четырех арифметических операций над ними. В геометрической части задачника применялись неточные формулы S–й ∆ и четырехугольников.

Герберт Сильвестр (ок. 940-1003) (француз), написано сочинение по геометрии, к-рое содержало самые элементарные сведения, но главные работы посвящены усовершенствованию методов счета на абаке.