Решить задачи:
6.1. Составить
уравнение плоскости, проходящей через
две параллельные прямые
и
.
(Ответ:
)
6.2. Найти расстояние
от точки М(2; 0; –0,5) до плоскости
.
(Ответ:
)
6.3. Найти проекцию
точки М(4, –3, 1) на плоскость
.
(Ответ: М1(5,
–5, 0))
6.4. Определить, при
каком значении В плоскости
и
будут перпендикулярны. (Ответ:
)
6.5. При каких
значениях n
и А прямая
перпендикулярна к плоскости
?
(Ответ:
,
)
6.6. Определить, при
каком значении С плоскости
и
будут перпендикулярны. (Ответ:
)
6.7. Составить
уравнение прямой, проходящей через
точку М(1, –3, 3) и образующей с осями
координат углы, соответственно равные
60°, 45° и 120°. (Ответ:
)
6.8. При каком
значении n
прямая
параллельна прямой
(Ответ:
)
6.9. Найти проекцию
точки Р(3, 1, –1) на плоскость
.
(Ответ: Р1(5,
5, 5))
6.10. При каком
значении С плоскости
и
перпендикулярны. (Ответ:
)
6.11. При каком
значении А плоскость
параллельна прямой
.
(Ответ:
)
6.12. Составить
уравнение плоскости, проходящей через
точку М(2, 3, –1) и прямую
(Ответ:
)
6.13. Составить
уравнение прямой, проходящей через
начало координат параллельно прямой
(Ответ:
)
6.14. Проверить, лежат ли на одной прямой точки A(0, 0, 2), В(4, 2, 5) и С(12, 6, 11). (Ответ: лежат.)
6.15. Составить
уравнение прямой, проходящей через
точку М(2, –5, 3) параллельно прямой
(Ответ:
)
6.16. Составить
уравнение прямой, проходящей через
точку M(2, –3, 4) перпендикулярно к прямым
и
(Ответ:
)
6.17. При каком
значении D прямая
пересекает ось Ox? (Ответ:
)
6.18. При каком
значении р
прямые
и
параллельны? (Ответ:
)
6.19. Составить общие
уравнения прямой, образованной
пересечением плоскости
плоскостью, проходящей через ось Оу и
точку М(5, 3, 2). (Ответ:
)
6.20. При каких
значениях В и D прямая
лежит в плоскости Оху? (Ответ:
,
)
6.21. При каких
значениях m
и С прямая
перпендикулярна
к плоскости
?
(Oтвет:
,
)
Решить задачи:
7.1. Найти уравнение
прямой, проходящей через точку пересечения
прямых
и
и отсекающей на оси абсцисс отрезок,
равный 3. (Ответ:
)
7.2. Найти проекцию точки А(–8, 12) на прямую, проходящую через точки В (2, –3) и С(–5, 1). (Ответ: А1(-12, 5))
7.3. Даны две вершины треугольника ABC: A(–4, 4), В(4, –12) и точка М(4, 2) пересечения его высот. Найти вершину С. (Ответ: С(8, 4))
7.4. Найти уравнение
прямой, отсекающей на оси ординат
отрезок, равный 2, и проходящей параллельно
прямой
.
(Ответ:
)
7.5. Даны уравнения
высот треугольника ABC
,
и координаты его вершины А(2, 3). Найти
уравнения сторон АВ и АС треугольника.
(Ответ:
(АВ),
(АС))
7.7. Записать
уравнение прямой, проходящей через
точку А(3, 1) перпендикулярно к прямой
ВС, если В(2, 5), С(1, 0). (Ответ:
)
7.8. Найти уравнение
прямой, проходящей через точку А(–2, 1)
параллельно прямой MN, если М(–3, –2), N(1,
6). (Ответ:
)
7.9. Найти точку,
симметричную точке М(2, –1) относительно
прямой
.
(Ответ: M1(–4/5,
23/5))
7.10. Даны уравнения
двух сторон параллелограмма
,
и точка пересечения его диагоналей М(3,
–1). Найти уравнения двух других сторон.
(Ответ:
,
)
7.11. Записать
уравнения прямых, проходящих через
точку А(–1, 1) под углом 45° к прямой
.
(Ответ:
,
)
7.12. Известны
уравнения стороны АВ треугольника ABC
,
его высот ВН
и AM
.
Найти уравнения двух других сторон
треугольника ABC. (Ответ:
,
)
7.13. Даны две вершины треугольника ABC: А(–6, 2), В(2, –2) и точка пересечения его высот H(1, 2). Найти координаты точки М пересечения стороны АС и высоты ВН. (Ответ: М(10/17, 62/17))
7.14. Известны
уравнения двух сторон ромба
и
и уравнение одной из его диагоналей
.
Найти уравнение второй диагонали.
(Ответ:
)
7.15. Вычислить координаты точки пересечения перпендикуляров, проведенных через середины сторон треугольника, вершинами которого служат точки А(2, 3), B(0, –3), С(6, –3). (Ответ: М(3, –2/3))
7.16. Составить
уравнение высоты, проведенной из вершины
А треугольника ABC, зная уравнения его
сторон: АВ
,
АС
,
ВС
.
(Ответ:
)
7.17. Дан треугольник
с вершинами А(3, 1), В(–3, –1) и С(5, –12). Найти
уравнение и вычислить длину его медианы,
проведенной из вершины С. (Ответ:
,
)
7.18. Составить
уравнение прямой, проходящей через
начало координат и точку пересечения
прямых
и
.
(Ответ:
)
7.19. Найти уравнения
перпендикуляров к прямой
,
проведенных через точки пересечения
данной прямой с осями координат. (Ответ:
,
)
7.20. Даны уравнения
сторон четырехугольника:
,
,
,
.
Найти уравнения его диагоналей. (Ответ:
,
)
7.21. Составить
уравнения медианы СМ и высоты СК
треугольника ABC, если A(4, 6), В(–4, 0), С(–1,
–4). (Ответ:
(СМ),
(СК))
Составить канонические уравнения: а) эллипса; б) гиперболы; в) параболы (А, В – точки, лежащие на кривой, F – фокус, а – большая (действительная) полуось, b – малая (мнимая) полуось,
– эксцентриситет,
– уравнения асимптот гиперболы, D –
директриса кривой, 2с
– фокусное расстояние).
8.1. а)
,
F(–10,
0); б)
,
; в)
D:
.
8.2. а)
,
; б)
,
; в)
D:
.
8.3. а)
,
; б)
,
; в)
D:
.
8.4. а)
,
; б)
,
; в)
D:
.
8.5. а)
,
; б)
,
; в)
ось симметрии Ох
и
.
8.6. а)
,
; б)
,
; в)
ось симметрии Ох
и
.
8.7. а)
,
; б)
,
F(–11,
0); в) D:
.
8.8. a)
,
F(9,
0); б)
,
; в)
D:
.
8.9. а)
,
; б)
,
; в)
D:
.
8.10. а)
,
; б)
,
; в)
D:
.
8.11. а)
,
; б)
,
; в)
ось симметрии Ох
и
.
8.12. а)
,
; б)
,
; в)
ось симметрии Ох
и
.
8.13. a)
,
F(–4,
0); б)
,
F(7,
0); в) D:
.
8.14. a)
,
F(5, 0); б)
,
; в)
D:
.
8.15. а)
,
; б)
,
; в)
D:
.
8.16. a)
,
; б)
,
; в)
D:
.
8.17. a)
,
; б)
,
; в)
ось симметрии Ox
и
.
8.18. а)
,
; б)
,
; в)
ось симметрии Оу
и
.
8.19. а)
,
F(7,
0); б)
,
F(12,
0); в) D:
.
8.20. а)
,
F(–10,
0); б)
,
; в)
D:
.
8.21. а)
,
; б)
,
; в)
D:
.