3. Расчет и исследование двухконтурной статической сар с последовательной коррекцией.

3.1 Составление структурной схемы двухконтурной САР.

Рисунок 3.1 – Структурная схема двухконтурной САР.

- передаточная функция той части ОР, которая компенсируется регулятором контура;

- постоянная времени ОР звена;

- передаточная функция внутреннего замкнутого контура;

- передаточная функция регулятора внешнего контура.

На внешний контур действуют следующие воздействия:

1) g=y_з2 – задающие воздействия;

2) F(p) – возмущающее воздействие, которое действует на объект управления.

Регулируются следующие параметры:

1. y₁ – выходная величина внутреннего контура;

2. y₂ – выходная величина внешнего контура.

Передаточная функция регулятора определиться по формуле:

где i – номер рассматриваемого контура;

T_μ – наименьшая некомпенсируемая постоянная времени;

W_0i(p) – передаточная функция той части объекта регулирования, которая должна быть скомпенсирована регулятором рассматриваемого контура.

K_i ,K_i-1 – коэффициенты обратной связи рассматриваемого и предыдущего внутреннего контура соответственно.

Рассмотрим внешний контур САР.

Передаточная функция определится:

Регулятор внешнего контура является пропорциональным звеном. Согласно этому строим схему внешнего контура САР (рисунок 3,2.).

Рисунок 3.2. - Схема внешнего контура САР

Т.к. T_μ величина маленькая, то ее квадрат еще меньше, следовательно, ей можно пренебречь. При этом передаточная функция внутреннего контура упростится и станет оптимальной функцией первого порядка с постоянной времени T’_μ=2T_μ=0,03с. Структурная схема внешнего контура примет вид ( рисунок 3.3).

Рисунок 3.3 - Упрощенная схема внешнего контура САР

3.2 Передаточные функции замкнутой и разомкнутой САР, по управляющему и возмущающему воздействиям.

3.2.1. Передаточные функции разомкнутой и замкнутой САР, по управляющему воздействию. Рассмотрим передаточную функцию внутреннего замкнутого контура.

где ,

Вывод: В данном случае внутренний замкнутый контур будет представлять из себя апериодическое звено 1го порядка. Необходимо найти передаточные и переходные функции для случаев, когда внутренний замкнутый контур – колебательное звено.

3.3.1.Рассмотрим W(p) внешнего контура для управляющего воздействия:

1. Для выходной координаты y₂

где q₃ – полином знаменателя передаточной функции.

Приравняв знаменатель к 0, получим характеристическое уравнение внешнего контура, найдём корни, пользуясь обратным преобразованием Лапласа, получим переходные функции внешнего контура при управляющем воздействии.

а)

Расчёт аналитический переходных процессов для y₂ при управляющем воздействии.

Определяем передаточные функции для упращенного разомкнутого и замкнутого контуров.

где - малая постоянная времени внутреннего контура.

При упрощении внутренний замкнутый контур представляет апериодическое звено 1-го порядка. Контур внешний представляет собой звено 2-го порядка. Следовательно, порядок системы уменьшается на 1.

Следовательно, передаточные функции разомкнутых и замкнутых систем будут оптимальными. В случае колебательного внутреннего контура система представляет собой оптимальную систему третьего порядка, а при инерционном внутреннем контуре система будет второго порядка, но наименьшая некомпенсируемая постоянная времени при этом будет в два раза больше.

Найдя корни, применив обратное преобразование Лапласа, можно получить выражение для упрощенной переходной функции. Переходная функция будет иметь тот же вид, что и для внутреннего оптимального контура.

б)

3.3.2 Передаточные функции САР при возмущающем воздействии:

y_вх=F(p) y_вых=y₁

При возмущающем воздействии, когда выходной величиной является выходная величина внутреннего у1 контура, схема САР совпадает со схемой САР при управляющем воздействии, когда выходной величиной является выходная величина внешнего контура, поэтому передаточные функции замкнутой и разомкнутой САР такие же.

1. Передаточная функция разомкнутой и замкнутой САР по возмущающему воздействию для выходной величины внутреннего контора имеет вид

Определим передаточную функцию разомкнутой САР для упрощенного контура

Передаточная функция замкнутой САР

Передаточная функция замкнутой САР для упрощенного контура

где T’_μ=2T_μ=0,04с.

Функции являются оптимальными.

2. Передаточная функция разомкнутой и замкнутой САР по возмущающему воздействию для выходной величины внешнего контора имеет вид

Передаточная функция замкнутой САР

Передаточная функция замкнутой САР для упрощенного контура

3.4 Аналитический расчет переходных процессов

Используя обратное преобразование Лапласа, находим переходные функции разомкнутых и замкнутых САР при возмущающем и управляющем воздействиям для случаев, когда выходной величиной является выходная величина либо внешнего контура, либо внутреннего контура. По причине сложности и громоздкости расчеты обратного преобразования Лапласа не приводятся.

3.4.1 Расчет переходных процессов по управляющему воздействию

Переходная функция системы при единичном управляющем воздействии, когда выходной величиной является выходная величина внешнего у2 контура

Для упрощенной САР

где T’_μ=2T_μ=0,03с.

Переходная функция системы при единичном управляющем воздействии, когда выходной величиной является выходная величина внутреннего у1 контура

Для упрощенной САР

где T’_μ=2T_μ=0,04с.

Подставляя значения времени, строим кривые переходных процессов при управляющем воздействии.

Рисунок 3.4. - Кривые переходного процесса при управляющем воздействии

3.4.2 Расчет переходных процессов по возмущающему воздействию.

Рисунок 3.5. – Двухконтурная статическая система САР.

Переходная функция системы при единичном возмущающем воздействии, когда выходной величиной является выходная величина внешнего у2 контура и на выходе системы имеется установившийся процесс с y₂=1.

Для упрощенного случая

где T’_μ=2T_μ=0,03с.

Переходная функция системы при возмущающем воздействии, когда выходной величиной является выходная величина внутреннего у1 контура, будет оптимальной

Для упрощенной САР

где T’_μ=2T_μ=0,03.

Подставляя значения времени, строим кривые переходных процессов при возмущающем воздействии.. Построение начтем с момента времени 23,3T_μ=0,35 c. До этого времени используем построение кривых при управляющем воздействии.

Рисунок 3.6. - Кривые переходного процесса при возмущающем воздействии

3.5 Экспериментальное определение кривых переходных процессов с помощью программы MATLAB

3.5.1 Кривые переходных процессов САР по управляющему воздействию

Используя программу MATLAB и файл SIMULINK, проведем моделирование переходных процессов при управляющем воздействии

Рисунок 3.7 - Кривые переходных процессов САР по управляющему воздействию

3.5.2 Кривые переходных процессов САР по возмущающему воздействию

Для моделирования переходных процессов при возмущающем воздействии необходимо снимать кривые

Рисунок 3.8. - Кривые переходных процессов САР по возмущающему воздействию

3.6 Расчет и построение асимптотических ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутых САР

3.6.1 Управляющее воздействие

Разомкнутая САР при управляющем воздействии, когда выходом является выходная величина внешнего у2 контура, представляет собой последовательно соединенные колебательное и интегрирующее звенья.

где T = =0,021 с, а =0,707.

Для упрощенного внутреннего контура разомкнутая САР представляет собой последовательно соединенные апериодическое и интегрирующее звено.

Разомкнутая САР при управляющем воздействии, когда выходом является выходная величина внутреннего у1 контура, представляет собой последовательно соединенные колебательное и пропорциональное звенья.

где T = =0,021с, а =0,707.

Для упрощенного внутреннего контура разомкнутая САР представляет собой последовательно соединенные апериодическое и пропорциональное звено.

где T’_μ=2T_μ=0,03с.

3.6.2 Возмущающее воздействие

Разомкнутая САР при возмущающем воздействии, когда выходом является выходная величина внешнего у2 контура, представляет собой интегрирующее звено объекта регулирования.

Для упрощенного случая функция останется такой же.

Разомкнутая САР при возмущающем воздействии, когда выходом является выходная величина внутреннего у2 контура, будет аналогична разомкнутой САР, когда воздействие управляющее, а выходная величина – выход внешнего у2 контура регулирования.

где T = =0,021с, а =0,707.

То же самое и для упрощенного контура

3.6.3.Построение ЛАЧХ и ЛФЧХ при управляющем воздействии представлены на рис. 3.9. и 4, а при возмущающем на рис. 4.1. и 4.2.

Рисунок-3.9. Логарифмические частотные характеристики разомкнутых САР при управляющем воздействии внешнего контура

Рисунок 4. - Логарифмические частотные характеристики разомкнутых САР при управляющем воздействии внутреннего контура

Рисунок 4.1 - Логарифмические частотные характеристики разомкнутых САР при возмущающем воздействии внешнего контура

Рисунок 4.2 - Логарифмические частотные характеристики разомкнутых САР при возмущающем воздействии внутреннего контура

3.7 Выводы

Т.к. регулятор внутреннего контура содержит интегрирующее звено, то САР является астатической по управляющему воздействию. Регулятором внешнего контура является пропорциональное звено, поэтому САР – статическая по возмущающем воздействию. Статическая ошибка, возникающая при возмущающем воздействии равна 4T_μ/T₂₀=0,667, что подтверждается и аналитическими расчетами и экспериментом. Замена колебательного звена внутреннего контура на апериодическое с удвоенной наименьшей некомпенсируемой постоянной времени приводит к тому, что у системы уменьшается перерегулирование и время регулирования. Сравнительные данные кривых представлены в таблице 9.

Таблица 9 - Показатели качества САР.

Показатель качества САР	Управляющее воздействие				Возмущающее воздействие
	у1	y2	y1упр	y2упр	у1	y2	y1упр	y2упр
σ, %	-	8,1	-	4,3	8,1	11	4,3	4,3
Tрег1/Тμ
Tрег2/Тμ
T1/Тμ
Δ	-	-	-	-	-	0,66	-	0,66
h, дБ	-	∞		∞
, град	0