18. Средняя арифметическая величина. Ее свойства и способы вычисления.

Форма средней вел-ны опр-ся прежде всего тем, какое св-во, какой параметр исходной варьирующей массы индивид значений признака должен сохран-ся неизменным. При расчете средней арифметической величины

неизменной остается сумма индивидуальных значений признака. Средняя арифметическая простая (невзвешенная) равна сумме индивидуальных значений признака, деленной на число этих значений:

где xi – индивидуальные значения признака (варианты); n – число единиц совокупности.

Простая средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда имеются индивидуальные значения признака, т.е. данные не сгруппированы. Если данные представлены в виде рядов распределения или группировок, то средняя исчисляется с помощью весов.

Средняя арифметическая взвешенная имеет вид:

где xi – индивидуальные значения признака (варианты); fi – частота (вес), т.е. число единиц совокупности, обладающее одинаковым значением признака.

Данный вид средней арифметической взвешенной используется в дискретных рядах распределения. В том случае, когда данные представлены в виде интервальных рядов распределения, т.е. значения признака заданы в виде интервалов, их заменяют серединами этих интервалов.

Если интервал открытый (до 10; 10 – 20; 20 – 30; 30 и более), то величина интервала первой группы принимается равной величине интервала последующей, а величина интервала последней группы – величине предыдущей.

19. Виды средних величин, способы расчета и их применение.

Средняя величина представляет собой обобщенную количественную характеристику пр-ка стат. совокупности в конкретных условиях места и времени. Форма средней вел-ны опр-ся прежде всего тем, какое св-во, какой параметр исходной варьирующей массы индивид значений признака должен сохран-ся неизменным.

Виды средних вел-н: Средняя арифметическая: простая:

где xi – индивидуальные значения признака (варианты); n – число единиц совокупности.

Простая средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда имеются индивидуальные значения признака, т.е. данные не сгруппированы. Если данные представлены в виде рядов распределения или группировок, то средняя исчисляется с помощью весов.

Средняя арифметическая взвешенная имеет вид:

где xi – индивидуальные значения признака (варианты); fi – частота (вес), т.е. число единиц совокупности, обладающее одинаковым значением признака.

Данный вид средней арифметической взвешенной используется в дискретных рядах распределения.

Средняя квадратическая (сохраняется неизменной сумма квадратов исходных значений):

Если неизменной сохраняется сумма кубов индивидуальных значений признака при их замене на среднюю величину, используется средняя кубическая:

Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменным произведение индивидуальных величин, то следует применить геометрическую среднюю величину:

Основное применение средняя геометрическая находит при определении средних темпов роста.

Если по условию задачи необходимо, чтобы неизменной оставалась при осреднении сумма величин, обратных индивидуальным значениям признака, то средняя величина является гармонической средней:

Все рассмотренные виды средних величин принадлежат к общему типу степенных средних. Различаются они лишь показателем степени:

где k – показатель степени. При k = 1 получаем арифметическую среднюю, при k = 2 –квадратическую, при k = 3 – кубическую, при k = 0 – геометрическую, при k = –1 – гармоническую среднюю.