Неявная разностная схема

Для дифференциальной задачи:

;

построить разностную схему (теоретически обосновать аппроксимацию и устойчивость) на шаблоне:

• 



Для полученной схемы написать расчетные формулы алгоритма и численно решить задачу в квадрате . Полученное численное решение сравнить с точным решением в тех же точках, в которых получено численное решение.

Численно вычислить порядок сходимости.

Решение:

Построим разностную схему для нашего уравнения (в данном случае имеем дифференциальное уравнение переноса) на предложенном шаблоне.

Введём сетку :

Запишем производные через разностные выражения:

;

,

Используя заданный шаблон, получим схему:

Определяем таким образом начальные слои сетки. Затем заменяем n на n-1 для разделения нумерации вычисляемых находим все остальные слои по следующей схеме:

Исследуем аппроксимацию полученной разностной схемы. Запишем схему относительно точки :

, где:

Разложим в ряд Тейлора функции из (6) в окрестности точки :

;

,

где , .

Получим выражение для невязки:

Введём ограниченное пространство , положив и , и норму в нём .

Тогда получим:

.

Тогда схема имеет порядок аппроксимации:

Исследуем устойчивость разностной схемы. Используем принцип максимума, который позволяет доказать устойчивость в схем для уравнения переноса, параболических и эллиптических уравнений.

В нашем случае: , т.к.

,

.

Имеем отсюда . Тогда получаем .

Т.е. схема является условно устойчивой по начальным данным.

График функции выглядит следующим образом:

Результаты вычислений занесем в таблицы:

h=0.1, (шаги выбраны абсолютно произвольно, пока в качестве примера)

Полученное решение (в некоторых точках):

t=0.01 h=0.1	0.0	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0
0.0	3	3.07552	3.13426	3.17622	3.20139	3.20978
0.2	3.03218	3.10786	3.1666	3.20855	3.23373	3.24212
0.4	3.06435	3.14019	3.19893	3.24089	3.26606	3.27445
0.6	3.09653	3.17253	3.23127	3.27323	3.2984	3.30679
0.8	3.1287	3.20487	3.26361	3.30556	3.33074	3.33913
1.0	3.16088	3.23721	3.29594	3.3379	3.36307	3.37146

Точное решение:

t=0.01 h=0.1	0.0	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0
0.0	3	3.07552	3.13426	3.17622	3.20139	3.20978
0.2	3.03218	3.1077	3.16644	3.20839	3.23356	3.24196
0.4	3.06435	3.13987	3.19861	3.24057	3.26574	3.27413
0.6	3.09653	3.17205	3.23079	3.27274	3.29792	3.30631
0.8	3.1287	3.20422	3.26296	3.30492	3.33009	3.33848
1.0	3.16088	3.2364	3.29514	3.3371	3.36227	3.37066

Погрешность:

t=0.01 h=0.1	0.0	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0
0.0	0	0	0	0	0	0
0.2	0	1.6088e-4	1.6088e-4	1.6088e-4	1.6088e-4	1.6088e-4
0.4	0	3.2176e-4	3.2176e-4	3.2176e-4	3.2176e-4	3.2176e-4
0.6	0	4.8264e-4	4.8264e-4	4.8264e-4	4.8264e-4	4.8264e-4
0.8	0	6.4352e-4	6.43521e-4	6.4352e-4	6.43519e-4	6.43518e-4
1.0	0	-2.06158e6	8.04539e-4	8.04459e-4	8.04407e-4	8.04336e-4

Проведем для точки (1,1) исследование погрешности в зависимости от разных шагов по и :

t h	0.5	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001	0.0001	0.00001
0.5	0.4	8.044e-3	4.022e-3	8.044e-4	4.022e-4	8.044e-5	8.04e-6	8.88e-7
0.1	0.250	7.837e-3	4.022e-3	8.0433e-4	2.646e-4	1.12248e3	-	-
0.05	0.129	0.09943	4.022e-3	2.7286e-3	163.717	-	-	-
0.01	2.33e-3	1.04832	-5.87597	8.7360e7	-	-	-	-
0.005	0.015	0.82818	19.98129	7.9397e-4	-	-	-	-
0.001	0.030	0.23531	18.0264	-	-	-	-	-

Из первой строчки этой таблицы наглядно виден порядок сходимости по , он равен 1.

Построим таблицу погрешности сеточной функции (естественно, что саму сеточную функцию строить не нужно) для шагов h=0.5, :

	0.0	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0
0.0	0	0	0	0	0	0
0.5	0	4.02201e-7	4.02198e-7	4.02204e-7	4.02201e-7	4.02206e-7
1.0	0	8.8814e-7	8.88134e-7	8.88145e-7	8.88139e-7	8.88151e-7

Не смотря на относительно хорошую погрешность, полученный результат можно назвать несколько странным. Из таблицы погрешностей видно, что условие устойчивости в нашем случае работает строго наоборот. Этот результат, скорее всего, получился из-за неправильной постановки дифференциальной задачи в задании. В случае, когда коэффициент скорости переноса отрицателен ход характеристик уравнения таков, что в любую точку области приходит характеристика, начинающаяся на отрезке , либо на отрезке . Поэтому граничные условия следовало бы ставить на границе .

Вывод: в отчете приведено несколько таблиц сеточной функции, а так же таблица погрешности в зависимости от шагов по и . Эти таблицы дают наглядное представление того, как ведут себя решение уравнения в зависимости от различных параметров. Задачи данной работы, по моему мнению, выполнены:

1. изучена заданная разностная схема для уравнения переноса

2. построена достаточно точная сеточная функция

3. показана зависимость погрешности от шагов по и

4. практически показано условие устойчивости для схемы (которое в нашем случае не выполняется)

5. численно определен порядок сходимости

Задание №21