7. Меры центральной тенденции

Меры центральной тенденции предназначены для выявления «центрального положения», вокруг которого в основном группируется множество значений такого распределения данных.

Мода (Мо) – это такое значение, которое встречается наиболее часто среди результатов выполнения теста.

В том случае, если два значения встречаются одинаково часто, соответствующее распределение называется бимодальным. Один из наиболее важных выводов в случае бимодального распределения – корректировка трудности заданий теста.

В том случае, когда все значения баллов учеников встречаются одинаково часто, принято считать, что моды у распределения нет.

Среднее выборочное (М или ), или среднее арифметическое определяется суммированием всех значений совокупности и последующим делением на их число. Для совокупности индивидуальных баллов х1, х2, …, хN группы испытуемых числом N среднее значение будет равно:

Медиана (Ме) – среднее (центральное) значение упорядоченного числового ряда. Например, для ряда 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11 медианой будет 6, так как это значение имеет равное число значений справа и слева от себя в числовом ряду. Медиана чётного ряда находится как полусумма двух центральных значений.

Интерпретация мер центральной тенденции.

Меры центральной тенденции помогают при оценке качества теста в том случае, когда она проводится на репрезентативной выборке учеников. Хороший нормативно-ориентированный тест обеспечивает нормальное распределение индивидуальных баллов учеников, когда среднее значение баллов совпадает с модой и находится в центре распределения, около 68% концентрируются вокруг среднего по нормальному закону, а остальные сходят на нет к краям распределения:

Схема 5

График нормального распределения

Нормальное распределение унимодально и симметрично, мода, медиана и среднее значение равны.

На малых выборках любые показатели теряют свою стабильность.

Смещение среднего значения влево или вправо говорит о слишком трудной или слишком легкой подборке заданий теста [12].

8. Меры изменчивости

Размах – измеряет на шкале расстояние, в пределах которого изменяются все значения показателя в распределении. Из индивидуального балла самого сильного ученика вычитают индивидуальный балл самого слабого.

Дисперсия

Подсчет дисперсии основан на вычислении отклонений индивидуального балла каждого ученика от среднего арифметического в распределении: или xi – М (i=1,2,…,N). Знак отклонения указывает место результата ученика по отношению к среднему арифметическому по тесту. Для ученика с индивидуальным баллом выше среднего значение разности будет положительно, а для тех, у кого результат ниже среднего арифметического, отклонение отрицательно.

Мера изменчивости, называемая дисперсией обозначается S2x (или ?2x) и вычисляется по формуле

,

где x1 – индивидуальный балл первого ученика, x2 – индивидуальный балл второго ученика и т. п., – среднее выборочное (среднее арифметическое) для данной группы, ? – сумма квадратов разностей, вычисленных для каждого ученика, N – количество учащихся в данной группе.

Низкая дисперсия индивидуальных баллов говорит о слабой дифференциации испытуемых по уровню подготовленности в группе, что противоречит основной цели нормативно-ориентированных тестов.