§ 5. Полное приращение и полный дифференциал

Опр. Пусть , . Полным приращением функции наз. .

Т.2. (О дифференцируемости ф.н.п.) Если функция имеет непрерывные частные производные в точке , то ее приращение в этой точке., соответствующее достаточно малым приращениям , можно представить в виде:

(1), где , – б.м. при более высокого порядка, чем .

Опр. Функция , приращение которой в точке можно представить в виде (1), наз. дифференцируемой в этой точке.

Т.3. (Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции) Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда имеет в этой точке непрерывные частные производные по всем переменным.

Аналогичное утверждение верно и для функции n переменных .

Опр Если функция дифференцируема в точке , то главная часть ее приращения в этой точке, линейная относительно , наз. полным дифференциалом функции в этой точке: .

Замечание. .

Для : , .

ПР.

§ 6. Дифференцирование сложной функции

1) Пусть , ,

Т. 4.(О дифференцировании сложной функции одной переменной) Если: 1) функции дифференцируемы в точке ; 2) дифференцируема в , то функция дифференцируема в и

(2)

Д-во. Дадим приращение , тогда для , и для .

ПР.

2) Пусть , ,

Т. 5 (О дифференцировании сложной функции нескольких переменных) Если: 1) функции дифференцируемы в точке ; 2) дифференцируема в точке , то функция дифференцируема в точке и , .

ПР. .

§ 7. Дифференцирование функций, заданных неявно

(А) Рассмотрим неявную функцию одной переменной ,

Т.6. (О производной неявной функции) Пусть: 1) непрерывная в точке функция задается уравнением ,

2) , , – непрерывные функции 2-х переменных в некоторой области D;

3) точка , (т.е. );

4) . Тогда .

Д-во: Дадим приращение , тогда получит приращение , причем . Рассмотрим функцию . По условию – непрерывны в точке – дифференцируема в этой точке, . Разделим на , т.к. , .

ПР. , .

(B) Пусть имеется уравнение . Если любой паре переменных соответствует одно значение , удовлетворяющее этому уравнению, то оно неявно определяет функцию . Найдем , . При вычислении имеем – неявная функция одной переменной, , если . Аналогично , если .

ПР , , .

§ 8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала

Пусть поверхность задана ур-нием и , , непрерывны.

Опр. Касательной плоскостью к поверхности в ее точке наз. плоскость, проходящая через точку и обладающая следующим свойством: расстояние от этой плоскости до переменной точки М поверхности S является бесконечно малой величиной при стремлении М к , т.е. .

Если функция дифференцируема в точке , то уравнение касательной плоскости имеет вид .

Пусть , тогда или . Если , , то – приращение аппликаты касательной плоскости, соответствующее ее и . Т.к. , то, с геометрической точки зрения, для приращений и есть приращение аппликаты точки касательной плоскости к поверхности в точке для тех же приращений.

Опр. Прямая, проходящая через точку поверхности S перпендикулярно касательной плоскости в этой точке, наз. нормалью к поверхности.

Пусть поверхность S задана уравнением , точка , касательная плоскость имеет уравнение

. Тогда вектор . Слледовательно, нормаль имеет уравнение: .

ПР. , , . , , нормаль: .