1 Теоретическая часть

1.1 Законы регулирования

Закон регулирования – это математическая зависимость, с помощью которой определяется регулирующее воздействие u(t) по сигналу рассогласования e(t).

Законы регулирования бывают:

1. линейные: ; (1.1)

2. нелинейные:   F₁(u,du/dt,…)=F₂(x,dx/dt,…;g,…;f,…). (1.2)

Классификация нелинейных законов регулирования:

• Функциональные.

• Логические.

• Параметрические.

• Оптимизирующие.

Примеры статических функциональных нелинейностей в законах:

u=k(1+b|x|)x,u=sign(x)ksqrt(1+b|x|). (1.3)

Примеры динамических функциональных нелинейностей в законах:

u=k(1±b|x′|)x,u=k(1±b|x|)x′. (1.4)

Пример логического нелинейного закона:

Если |x|<0.2Gm, тогда u=k1x; Если |x|>0.2Gm, тогда u=k2x; где: k1<k2

(1.5)

Пример параметрического нелинейного закона:

u=k(t[°C];h[м];G[кг])x. (1.6)

Пример оптимизирующего нелинейного закона:

u=k(min(СО₂);max(КПД))x. (1.7)

Линейные непрерывные законы регулирования

Под законом регулирования (управления) понимается алгоритм или функциональная зависимость, определяющая управляющее воздействие u(t) на объект:

u(t)=F(x,g,f). (1.8)

Линейные законы описываются линейной формой:

u(t)=k₁x(t)+k₂∫x(t)dt+k₃∫∫x(t)dt²+… +k₄x′(t)+k₅x″(t)+… (1.9)

она же в операторной форме записи:

u(t)=x(t)[k₁+k₂/p+k₃/p²+…+k₄p+k₅p²+…]. (1.10)

Наличие в (1.10) чувствительности регулятора к пропорциональной, к интегральным или к дифференциальным составляющим в первичной информации x(t) определяет тип регулятора:

1. P – пропорциональный.

2. I – интегральный.

3. PI – пропорционально интегральный (изодромный).

4. PD – пропорционально дифференциальный.

5. более сложные варианты – PID, PIID, PIDD ...

1. Пропорциональное регулирование

Пропорциональный закон регулирования имеет вид:

u(t)=W_рег(p)x(t)=k₁x(t), (1.11)

тогда в разомкнутом состоянии система будет характеризоваться ПФ:

W(p)=W_рег(p)W_о(p)=k₁W_о(p). (1.12)

Уравнение ошибки:

(1.13)

В установившемся режиме p→0 (все производные равны нулю); W_о(p)→k_о; W(p)→k₁k_о=k; где k – контурный коэффициент усиления разомкнутой системы (при W_ос(p)=1).

P-регулирование позволяет уменьшить установившуюся (статическую) ошибку, но только в 1+k раз, поэтому регулирование будет статическим.

Т.е. при любом kx_уст≠0.

2. Интегральное регулирование

Интегральный закон регулирования имеет вид:

u(t)=W_рег(p)x(t)=k₂/p×x(t), (1.14)

тогда в разомкнутом состоянии система будет характеризоваться ПФ:

W(p)=W_рег(p)W_о(p)=k₂/p×W_о(p). (1.15)

Уравнение ошибки:

(1.16)

В установившемся режиме p→0, => W(p)→∞; => первая составляющая ошибки g₀/∞→0. Ошибка от возмущения зависит от вида функции W_f(0) и может быть отлична от нуля.

I-регулирование позволяет исключить статическую ошибку в системе, т.е. система будет астатической по отношению к задающему воздействию g(t).

Интегральное регулирование по второму интегралу от ошибки

Двойной интегральный закон регулирования имеет вид:

u(t)=W_рег(p)x(t)=k₃/p²×x(t), (1.17)

тогда в разомкнутом состоянии система будет характеризоваться ПФ:

W(p)=W_рег(p)W_о(p)=k₃/p²×W_о(p). (1.18)

В этом случае система будет обладать астатизмом второго порядка – в ноль обратятся как постоянная составляющая ошибки, так и её скоростная составляющая (ошибка от помехи здесь не рассматривается):

(1.19)

Повышение порядка астатизма приводит к увеличению установившейся точности САР, но делает систему более замедленной в действии.