Построение самонастаивающихся система методом функций ляпунова
Задание:
произвести синтез контура активной
самонастройки системы с эталонной
моделью. Объект охвачен отрицательной
обратной связью с переменным коэффициентом
.
Дано: уравнение движения объекта:
(5.1.1)
Матрицу Р представить в следующем виде:
(5.1.2)
Решение:
Рассмотрим решение задачи синтеза контура самонастройки (СН) системы с эталонной моделью исходя из условия устойчивости процесса СН:
Рисунок 5.1 – структурная схема самонастраивающейся системы.
где:
Уравнения основного контура и модели линейны и имеют вид:
(5.2)
(5.3)
Где,
и
- переменные во времени параметры
основного контура;
и
-
постоянные коэффициенты модели. Причем
порядок модели не превышает порядок
основного контура, т.е.
.
Таким образом, применительно к уравнению (5.1.1) с учетом (5.2) и (5.3) можно записать:
уравнение основного контура:
(5.4)уравнение модели:
(5.5) где:
,
,
.
Если
порядки модели и основного контура
совпадают, т.е.
,
то разность сигналов (5.3) и (5.2), определяющая
входной сигнал в контуре СН имеет вид
уравнений:
(5.6)
(5.7)
У
равнение
(5.7) используется для синтеза закона
изменения настраиваемых параметров
основного
контура при построении системы с активной
подстройкой. Представим коэффициенты
основного контура на интервалах
в виде:
(5.8)
где:
-
коэффициент дополнительного усилителя.
- настраиваемые параметры ГОС.
Тогда вместо уравнений (5.2) и (5.7) можно записать:
(5.9)
(5.10)
(5.11)
П еременные коэффициенты представим следующим образом:
(5.12)
где:
-
приращение изменяемого параметра
объекта.
-
значение коэффициента ОС, полученное
при первичной оптимизации для
квазистационарного объекта, когда
.
-
приращение настраиваемого параметра.
Подставив уравнения (5.12) в уравнение (5.4), запишем:
(5.13)
Составим
уравнение для входного сигнала контура
СН
на
интервале квазистационарности
:
(5.14)
Так
как:
,
то (5.14) примет вид:
(5.15)
где
- изменение параметра объекта на
соответствующем интервале
являющееся
эквивалентным возмущением вызывающим
появление сигнала
.
Запишем
уравнение состояния, приняв следующее:
(5.16)
Выберем функцию Ляпунова в виде положительной квадратичной формы вида:
(5.17)
-
вектор переменных состояния;
-
симметричная положительно определенная
матрица;
-
строка переменных во времени коэффициентов;
-
диагональная матрица.
Выражение (5.17) с учетом (5.1.2) примет вид:
(5.18)
В
том случае, когда закон изменения
настраиваемых параметров рассматривается
только из условий устойчивости процесса
СН, определяется полная производная
функции Ляпунова, которая должна быть
отрицательно определенной (
):
(5.19)
Подставляя
(5.16) в (5.19) и произведя вычисление на
границе устойчивости, т.е. при
,
получим:
(5.20)
В
выражении (5.20) можно не учитывать
слагаемое (
)поскольку
оно всегда отрицательно:
(5.21)
Р
ассмотрим
первые два слагаемых:
→
→
(5.22)
Следовательно, выражение (5.21) примет вид:
(5.23)
(5.24)
(5.25)
Исходя
из того, что
,
получим:
(5.26)
Тогда, с учетом (5.25), имеем:
(5.27)
Или с учетом замен (5.16):
(5.28)
Тогда, структурная схема системы будет иметь вид:
Рисунок 5.2 – структурная схема самонастраивающейся системы по заданию (5.1.1).