8. Основні властивості перетворення Лапласа.

Перетворення Лапласа наз співвідношення , яке ставить у відповідність функцію дійсної змінної у відповідність функцію комплексної змінної . - оригінал, - зображення по Лапласу оригіналу. . , .

1. Властивість лінійності: .

2. Диференціювання оргиналу: , (коли t=0). . , . Якщо початкові умови нульові то: .

3. Інтегруванні Зображення інтегралу .\

4. Теорема запізнення: .

5. Теорема про згортку (множення зображення): . Або .

6. Теорема про граничні значення: , .

7. Теорема розкладу . Всі корені прості: , коли є нульовий, то ще до цего додати . Коли дійсні і комплексні корені то: .

9. Форми запису лінійних диф рівнянь.

Введемо оператор диференціювання: ;

; ; - власний оператор. , - оператори дії.

10. Передаточні функції.

Війдношення оператора дії до власного оператора наз передаточною функційєю в операторній формі.

По вхідній дії: . Передат по збуреню: .

Передаточна функція у формі зображення Лапласа наз відношенням зображення вихідної вецличини до зображення вхідної величини: . Розглянемо: , ,

.

Стандартна форма запису: вводимо оператор

, , поділ на а₂ і b₁. Буде: , де , , , . Т₀, Т₁, Т₂, - мають розмірність часу і наз постійними часу. К₁, К₂ – наз передаточними коефіцієнтами.

11. Рівняння ланок. Лінеаризація рівнянь.

Лінеризація нелінійності, що є в рівнянні ланки полягає в заміні цієї нелінійності приблизною лінійною залежністю. . F(X₀)=Y₀; Значення похідної в заданій точці: . . , , . К=tg .

Графічна інтерпритація лінеаризації – це заміна нелінійності дотичною до неї в точці усталеного режиму.

Дві умови лінеаризації.

11.1. Можлива тільки при малих відношеннях.

11.2. Можлива тільки при неперервно диференційованих нелінійностей.

Нелінійні ланки, які не підлягають цим вимогам наз суттєво нелінійними.

, , , . приріст змінних у відносних одиницях. , , .

, , .

12. Часові характеристики ланки та систем.

Перехідна характеристика ланки це графік зміни в часі вихід величини коли на вхід ланки подається одинична (сходинкова) дія.

Одинична дія, яка миттєво зростає від нуля до одиниці а далі залишається сталою.

Аіналітичний вираз перехідної характеристики це перех функція h(t).

Аналітичний вираз одиничної дії позначається:

. h(t)=y(t) вихідна величина. h(t)=y(t) при x(t)=1(t). x=N∙1(t), y=N∙h(t).

Імпульсна перехідна характеристика це – реакція ланки на одиничний імпульс.

Одиничний імпульс – це імпульс площа якого =1, триваілість =0, висота безмежність.

Одиничний імпльс – це мат ідеалізація гранично короткого імпульсу.

Аналітичним виразом для імпульсної перехідної характеристики є імпульсна перехідна функція, або функція ваги, яка позначається . при . . . Площа: . . Лапласа .

13. Частотні характеристики і функції.

Ч астотні характеристики описують усталені вимушені коливання на виході ланки коли на вхід ланки подається гармонічна дія.

x=X_msin t; y=Y_msin( t+ )

- зсув фаз між вхід і вихід виличинами. ,

Залежність від частоти відношенням амплітуд вихід і вхід усталених коливань А( )наз амплітудно частотною характеристикою (АЧХ).

Залежність від частоти зсуву фаз вихід і вхід усталених коливань наз фазочастотною характеристикою (ФЧХ)

Ці дві можн аб’єднат ив одну характеристику, в амплітудно фозо частотну характеристику (АФЧХ). Викор ,

, .

, , , , .

14. Логарифмічні частотні характеристики. Побудова логарифмічних характеристик.

14.1. Логарифмічна координата є можливість зображати амплітудно –частотну характериистику ламаними лініями.

14.2 Використання , , . lgA= . Тобто в логарифмічному масштабі амплітудна частотна характеристика послідовно з’єднаних ланок = сумі АЧХ окремих ланок.

Амплітудна частотна характеристика побудована в логарифм координатах у вигляді залежності 20 lg( ) наз логарифмічною амплітудною характеристикою (ЛАХ).

А фазова частотна характеристика побудована у вигляді наз логарифмічна фазова характеристика. . Одиниця вимірювання ЛАХ дБ який рівний 1/10 бела.

Б (бел)- це одиницявимірювання десяткового логарифма коеф. Підсилення потужності сигналу. 1 Бел відповідає підсилення потужності в 10 раз.

Так як потужність сигналу пропорційна квадрату амплітуди , то підсилення в белах, що виражається через відношення = 2lgA відповідно в дБ підсилення = 20 lgA. дБ відповідає зміні амплітуди тобто мала величина 1.12.

15. Безінерційна ланка.

Рівняння безінерційної ланки: y=kx, W(p)=k, W(S)=K.

Приклади: Механічний редуктор (без врахування скручення, люфту). Безінерційний широкополосний підсилювач. Подільник напруги. Давачі: індукційний давач, потенціометричний обертовий трансформатор.

16. Аперіодична ланка першого порядку.\

Рівняння ланки: , , (Т_Р+1)у=kx, . .

Приклади:

16.1. Двигуни любого виду (електричні, пневматичні, гідравлічні, механічні).

16.2. Електр. Генератор постійного струму. Вхідною величиною якого є напруга збудження а вихідною напруга якоря.

16.3. резервуар з газом. Вхідна величина є тиск перед впускним отвором, вихідна – тиск в резервуарі.

16.4. Нагрівна піч. Вхідна величина якого є кількість тепла що поступає за одиницю часу, вихідна – температура в печі.

16.5. електричні RC, RL кола.

h(t)= . tn=3T.

17. Аперіодична ланка другого порядку.

Рівняння (опис диф рівнянням)

(при цьому корені характеристичного ріваняння повинні бути дійсними). , - власний оператор. Вони будуть дійсними коли .

Деколи: , - коеф демфування. Т=Т₀, , корені будуть дійсними коли . , де . Передаточна функція має вигляд: . .

Аперіодична ланка ІІ порядку еквівалентна двом аперіодичним ланкам І порядку які з’єднані між собою послідовно. Приклад: послідовно з’єднані два резервуари, RC ланки з’єднані так:

RL так: