2.9. Теорема о разрешимости для сильно выпуклой функции.

Задача (1) с дифференцируемой сильно выпуклой функцией разрешима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Неравенство (14) для y = Q и произвольного x имеет вид

f(x)  f() + (f (), x) +c||x||2.

(15)

Для  = f() множество S_ = {x  R^m: f(x)  }, во-первых, непусто, поскольку содержит точку , а во-вторых, ограничено, поскольку вне шара B(Q, ||f ў(Q)||/c)

f(x) > .

Действительно, продолжая (15), при ||x|| > ||f ()||/c имеем

f(x)  f() + (f (), x) + c||x||2    |(f (), x)| + c||x||2    + c||x||2  ||f ()|| · ||x|| =  + ||x||(c||x||  ||f ()||) > .

Заключение теоремы теперь следует из теоремы 2.6 о разрешимости задачи безусловной оптимизации.

З а д а ч а  2.16. Покажите, что для выпуклой (и даже для строго выпуклой) функции утверждение теоремы в общем случае не верно.

2.10. Теорема единственности для строго выпуклой функции.

Задача (1) со строго выпуклой функцией не может иметь более одного решения.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В предположении существования двух точек минимума x* и x** (очевидно тогда, что f(x*) = f(x**)), в силу строгой выпуклости, получим противоречащее равенству x* = argmin f(x) неравенство

f   x* + x** 2    <  f(x*) 2  +  f(x**) 2  = f(x*).