Перечень вопросов по дисциплинам кафедры математической кибернетики

Часть I. Алгебра. Теория вероятностей и математическая статистика.

1. Системы линейных уравнений. Теорема Крамера. Теорема Кронекера-Капелли.

2. Матрицы и действия над ними. Ранг матрицы.

3. Линейное пространство. Базис пространства.

4. Подстановки. Свойства определителей. Обратная матрица.

5. Линейные операторы. Собственные значения и собственные векторы.

6. Билинейные и квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к нормальному и каноническому виду.

7. Группы: определения и примеры. Прямое произведение групп. Подгруппа и нормальная подгруппа группы. Факторгруппы.

8. Циклические группы. Теорема Лагранжа. Изоморфизм групп. Теорема Кэлли.

9. Гомоморфизмы групп. Группа автоморфизмов группы.

10. Кольца: определения и примеры. Кольцо и поле вычетов. Алгоритм деления с остатком и алгоритм Евклида в кольце целых чисел и в кольце многочленов.

11. Конечные поля, цикличность мультипликативной группы поля.

12. Случайный эксперимент. Случайное событие. Классическое, геометрическое и статистическое определение вероятностей. Аксиоматика теории вероятностей.

13. Условные вероятности, независимые события, формула полной вероятности, теорема Байеса.

14. Последовательности испытаний. Схема Бернулли. Теорема о наивероятнейшем числе успехов.

15. Случайные величины, их функции распределения и числовые характеристики. Функции от случайных величин.

16. Устойчивость распределения случайных величин. Гамма-распределение. Распределение «хи»-квадрат

17. Функция распределения отношения случайных величин. Распределение Стьюдента.

18. Сходимость последовательностей случайных величин. Законы больших чисел. Теоремы Чебышева, Маркова, Хинчина.

19. Нормальное распределение и центральная предельная теорема. Теоремы Леви-Хинчина, Линдсберга и Ляпунова.

20. Генеральная совокупность. Выборка и вариационный ряд. Эмпирическое(выборочное) распределение и выборочные характеристики. Гистограмма. Теорема Гливенко.

21. Оценка неизвестных параметров. Классификация оценок. Методы получения точечных оценок неизвестных параметров(метод моментов, метод наибольшего правдоподобия).

22. Интервальное оценивание. Построение доверительных интервалов для параметров нормального распределения.

23. Эффективные оценки. Информация Фишера, неравенство Рао-Крамера. Эффективность оценок наибольшего правдоподобия для распределений Бернулли, Пуассона и нормального распределения.

24. Проверка статистических гипотез. Критическая область. Критерий согласия Колмогорова и критерий значимости Пирсона.

25. Метод наименьших квадратов для оценки параметров линейной регрессии. Линейная модель с двумя переменными.

Часть II. Математическая логика. Теория алгоритмов. Дискретная математика. Исследование операций.

26. Классическое исчисление высказываний (КИВ); понятие вывода, выводимости; теорема о полноте и непротиворечивости КИВ; разрешимость КИВ.

27. Исчисление предикатов первого порядка (Р): определение, интерпретация, теорема дедукции для Р, полнота Р(без доказательства).

28. Формальная арифметика (S): определение; построение выводов формул, выражающих основные свойства арифметических операций.

29. Частично рекурсивные функции: свойства и примеры.

30. Турнирные задачи: определение участников, занявших первое и последнее; первое и второе; первое, второе и третье места.

31. Основные классы булевых функций: определения, свойства; теорема Поста.

32. Схемы из функциональных элементов; определение функции Шеннона, верхние и нижние ее оценки.

33. Определение графа, способы задания. Маршруты и циклы в графах, эйлеровы циклы(необходимое и достаточное условие), гамильтоновы циклы(достаточное условие).

34. Деревья, теорема Кэлли. Алгоритм построения минимального остового дерева.

35. Плоские графы. Теорема Эйлера.

Зб. Задача линейного программирования и методы ее решения.

37. Сети, потоки в сетях, разрезы. Теорема о максимальном потоке и минимальном разрезе.

38. Классификация игр. Матричные игры. Смешанные стратегии. Теорема о минимаксе.

Литература

1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.,1974.

2. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М.,1980.

3. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М., "Наука", 1982.

4. Гнеденко Б.В. Теория вероятностей. М., 1970.

5. Э. Мендельсон. Введение в математическую логику. М., 1971.

6. С.В.Яблонский. Введение в дискретную математику. М., 1979.

7. Мальцев А., Алгоритмы и рекурсивные функции. М., "Наука", 1986.

8. Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. М., "Мир", 1979.

9. Айгнер М. Комбинаторная теория. М., "Мир", 1982.

10. Ю.Оре О. Теория графов, М., Мир,1969.

11. И.Х.Таха. Введение в исследование операций. М., 2005.

сетях. М., 1966.