2.2. Електромагнетизм та електромагнітне поле.

Електромагнітні природні явища дуже різні за своїм проявом, проте можна виявити їх спільну основу, використовуючи поняття електромагнітного поля. В усіх електромагнітних явищах відбуваються перетворення енергії, носієм якої є поле. В електромагнітному полі на заряди і струми діють сили. Якщо така сила виконує роботу по переміщенню заряду чи провідника із струмом, то поле віддає частину енергії. Спостереження за процесом переміщення пробних зарядів дозволяє виявити присутність у просторі поля.

Електромагнітні поля описують наступними векторними функціями координат і часу:

– напруженість електричної компоненти поля;

– напруженість магнітної компоненти поля;

– електрична індукція;

– магнітна індукція.

В якості пробного розглядається точковий заряд , на який у електромагнітному полі діє сила:

,

де - швидкість точкового заряду.

Ця сила дозволяє визначити значення напруженості електричного поля , якщо заряд нерухомий. Якщо заряд рухається, то по дії сили можна встановити напруженість магнітного поля . Перший доданок виразу називають силою Кулона, другий – силою Лоренца.

Вектори , і , попарно залежні. В найпростішому випадку (для вакууму) вектори зв’язані лінійними співвідношеннями:

,

,

де і - це скалярні константи.

Величина називається електричною сталою ( ). Магнітною сталою називають величину .

§3. Рівняння Максвелла.

3.1. Рівняння Максвелла в диференціальній формі.

Теорія електромагнетизму розвивалась на основі узагальнення сукупності експериментальних фактів. Основу математичного апарату теорії складають методи векторного аналізу. Основні рівняння теорії електромагнетизму – рівняння Максвелла – відображають зв’язок між векторами , , , , , ρ за допомогою операцій ротора та дивергенції розглядаються як постулати теорії електромагнетизму.

Система рівнянь Максвела має наступний вигляд:

З формальної точки зору ці рівняння є диференціальними рівняннями у частинних похідних. Перші два рівняння системи векторні, два останні – скалярні.

3.2. Система рівнянь Максвелла в інтегральній формі.

Систему рівнянь Максвелла можна подати у інтегральній формі:

Перше та друге рівняння системи отримують шляхом інтегрування відповідних рівнянь, що записані у диференціальній формі, по поверхні S. При цьому використовується теорема Стокса і означення густини струму. Третє і четверте рівняння отримують інтегруванням по об’єму V рівнянь, що записані у диференціальній формі. У перетвореннях потрібно використати теорему Остроградського-Гауса і означення густини заряду.

Отже, дві форми запису системи рівнянь Максвелла еквівалентні.

3.3. Зміст першого рівняння Максвелла.

Проаналізуємо перше рівняння Максвелла, використовуючи диференціальну та інтегральну форми його запису. Перше рівняння відображає те, що просторові зміни магнітної компоненти поля пов’язані із часовими змінами електричної компоненти поля. Розглянемо найпростіший випадок – стаціонарний. Стаціонарні поля є назмінними у часі. У цьому випадку перше рівняння Максвелла можна переписати у вигляді:

Рівняння вказують на те, що електричний струм обов’язково породжує у просторі магнітне поле. Якщо , то, очевидно, . Звідси слідує, що .

Розглянемо випадок, коли струм провідності у середовищі відсутній ( ). У правій частині першого рівняння Максвела залишається доданок , що характеризує зміну потоку вектора у часі. Розмірність цього виразу відповідає розмірності струму. Тому можна формально ввести позначення:

.

Ця величина отримала назву струм зміщення. Очевидно, що струм зміщення є джерелом магнітного поля, як і струм провідності. Струм зміщення можна переписати у вигляді (змінюємо порядок диференціювання та інтегрування):

.

Підінтегральна величина – – називається густиною струму зміщення. Струм зміщення відіграє важливу роль в теорії електромагнетизму. Він може існувати у вакуумі, де відсутній рух заряджених частинок. Інколи оперують величиною загального струму, який є сумою струму зміщення і струму провідності:

.

Нехай магнітне поле в середовищі відсутнє . Тоді узагальнений струм також дорівнює нулю.

У подальшому розгляді використаємо тотожність .

Застосуємо операцію дивергенції до правої і лівої частини першого рівняння Максвелла:

Це співвідношення відображає те, що вектор густини узагальненого струму не має ні витоків ні стоків. Силові лінії струму замкнені або проходять із нескінченності в нескінченність. Можна застосувати до останньої рівності теорему Остроградського-Гауса. Це дає можливість отримати її інтегральний аналог:

.

Висновок: загальний струм, який проходить через замкнену поверхню дорівнює нулю. Вектор струму зміщення доповнює вектор струму провідності в тих областях, де рух заряджених частинок неможливий.

На рис. 10 показано взаємне розміщення силових ліній загального струму і магнітного поля. Напрямок силових ліній визначається правилом свердлика.

Частинна похідна по часу може бути як додатною так і від’ємною, зміна знаку приводить до зміни взаємної орієнтації векторних ліній магнітних і електричних полів.

Перше рівняння Максвелла узгоджене із законом збереження заряду. Для того, щоб проілюструвати це твердження використаємо відоме рівняння:

, або .

Скористаємось третім рівнянням Максвелла . У результаті отримаємо формулювання закону збереження заряду:

.