Задача принятия решения в форме функции реализации как оптимизацонная

Пусть задана функция реализации , где множества не обязательно конечны.

Будем считать, что задана также функция , отображающая множество исходов на множество вещественных чисел и являющаяся оценкой исходов. Тогда существует функционал и задача ПР становится эквивалентна задаче оптимизации

.

Таким образом, здесь использован критериальный язык для описания отношения предпочтения на множестве исходов . Исходы оцениваются по однокритериальной схеме в условиях, когда целевая функция задана не совсем точно – она содержит случайный параметр . При наличии стохастической неопределенности предполагается, что – случайная величина, закон распределения которой известен.

Методологически важно различать две ситуации:

• Исход , соответствующий принятому решению , реализуется многократно.

• Исход реализуется однократно.

Например, выбор конструктивных параметров изделия, выпускаемого серийно, дает пример многократной реализации исхода одного и того же выбора. Напротив, оптимальный выбор параметров уникальных изделий (мостов, ирригационных сооружений, финансовых проектов, программных продуктов и т.п.) – пример второй ситуации.

Критерий математического ожидания

При наличии многократно реализованного исхода представляется разумным использование математического ожидания критерия в качестве оценки альтернативы :

.

Для расчета математического ожидания случайной величины бе­рется сумма произведений стоящих в строке x_i табл.4.1 численных значений (оценок исходов) на соответствующие им вероятности:

оценка альтернативы x_i есть .

Концепция оптимальности решения: наилучшей (оптимальной) следует считать альтернативу, которой соответствует наибольшее значение математического ожидания.

Приведенное правило выбора оптимальной альтернативы называется критерием математического ожидания (или критерием Байеса - Лапласа). Если предположить, что функция характеризует «доход», полученный от реализовавшегося исхода , то математическое ожидание можно рассматривать как «средний доход», полученный на множестве реализаций, который мы и стремимся максимизировать.

В примере 4-2 предположим, что вероятности дождливого, жаркого и умерен­ного лета равны соответственно 0,6; 0,1; 0,3. Тогда оценки трех имеющихся альтернатив таковы:

= 0,690+0,160+0,340 = 72,

= 0,625+0,1100+0,350 = 40,

.

В этом случае надо выбрать первую альтернативу.

В задаче о замене вратаря будем численно оценивать исходы приносимыми ими очками: выигрыш оценивается в 2 очка, ничья – в 1 очко, проигрыш – 0.

Тогда при выборе альтернативы «заменить вратаря» математическое ожидание равно , а при выборе альтернативы «оставить вратаря» . Таким образом, руководствуясь критерием числа «ожидаемых очков» надо отдать предпочтение второй альтернативе – «не заменять вратаря».

Критерии, использующие дисперсию

В результате использования критерия математического ожидания Байеса-Лапласа мы получаем оценку каждого решения в виде ожидаемого среднего дохода на множестве реализовавшихся исходов. Однако каждый отдельно взятый исход будет давать разброс доходов относительно среднего значения, анализ которого позволяет оценить обусловленный неопределенностью риск принимаемого решения.

Возможный подход к оценке риска заключается в вычислении дисперсии и стандартного отклонения, как это делается для любого вида распределений.

Дисперсия случайной критериальной функции вычисляется по обычной формуле:

.

Таким образом, можно сформулировать двухкритериальную задачу оптимизации, используя критерии , причем оценка дисперсии должна быть по возможности минимизирована.

Можно поступить и иначе. Как и в любой многокритериальной задаче можно осуществить свертку критериев, сформировав интегральный критерий с весовыми коэффициентами:

, где – весовой коэффициент.

Коэффициент целесообразно интерпретировать как степень несклонности к риску. Действительно, определяет степень важности дисперсии по отношению к математическому ожиданию случайной величины . Увеличение значения приводит к уменьшению «среднего дохода», но зато уменьшается и величина отклонения от него. Таким образом, чем больше коэффициент , тем менее склонно к риску лицо, принимающее решение.

Если вернуться к примеру 4-2 и построить аддитивный критерий с весовыми коэффициентами, то результатом принятия решения с учетом риска обусловленного разбросом оценок исходов будет производство плащей, а не зонтиков, как было при использовании критерия математического ожидания.

Таблица 4-4. К

Альтернативы	Состояние среды					Аддитивный критерий при различных k
	Дождливое лето	Жаркое лето	Умеренное лето	M	D	0,1	0,5	1
Производить зонтики	90	60	40	72	516	20,4	-186	-444
Производить шляпы	25	100	50	40	525	-12,5	-222,5	-485
Производить плащи	70	50	60	65	45	60,5	42,5	20
Вероятности	0,6	0,1	0,3

Недостаток критерия: невозможно определить, каким должен быть коэффициент для конкретного ЛПР в каждом конкретном случае. Метод не предусматривает процедуры выбора этого коэффициента.

Таким образом, в случае многократной реализации исхода принятого решения проблема выбора мало чем отличается (* может быть приведена*) от ситуаций, в которых случайные факторы отсутствуют. Дополнительные сложности здесь носят чисто вычислительный характер и связаны с необходимостью выполнения операции усреднения.