Методы решения систем линейных уравнений
Задание2. Решить систему линейных уравнений методом главных элементов с точностью до 0,001.
№1.
|
№2.
|
№3.
|
№4.
|
№5.
|
№6.
|
№7.
|
№8.
|
№9.
|
№10. |
№11. |
№12. |
№13. |
№14. |
№15. |
№16. |
№17. |
№18. |
№19. |
№20. |
№21. |
№22. |
№23. |
№24. |
№25. |
№26. |
№27. |
№28. |
№29. |
№30. |
Пример 5. Решить систему линейных уравнений линейных уравнений методом главных элементов с точностью до 0,001.
Ответ:
,
,
.
Задание 3. Методом Зейделя решить с точностью до 0,001 систему линейных уравнений, приведя ее к виду, удобному для итераций.
№1.
|
№2.
|
№3.
|
№4.
|
№5.
|
№6.
|
№7.
|
№8.
|
№9.
|
№10.
|
№11.
|
№12.
|
№13.
|
№14.
|
№15.
|
№16.
|
№17.
|
№18.
|
№19.
|
№20.
|
№21.
|
№22.
|
№23.
|
№24.
|
№25.
|
№26.
|
№27.
|
№28.
|
№29.
|
№30.
|
Пример 6. Методом Зейделя решить с точностью 0,001 систему линейных уравнений, приведя ее к виду, удобному для итераций.
Приведем систему к виду, в котором элементы главной диагонали превосходили бы остальные элементы строк (не считая свободных членов):
За начальное приближение обычно берут свободные коэффициенты системы:
Далее вычисляются точные значения системы. При этом в вычислениях используются уже вычисленные ранее приближения:
Ответ:
,
,
.
3. Интерполирование и экстраполирование функций
Задание 4. Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, если функция задана в неравноотстоящих узлах таблицы.
Таблица № 1
-
х
у
№ варианта
х
0,43
1,63597
1
0,702
0,48
1,73234
7
0,512
0,55
1,87686
13
0,645
0,62
2,03345
19
0,736
0,70
2,22846
25
0,608
0,75
2,35973
Таблица № 2
-
х
у
№ варианта
х
0,02
1,02316
2
0,102
0,08
1,09590
8
0,114
0,12
1,14725
14
0,125
0,17
1,21483
20
0,203
0,23
1,30120
26
0,154
0,30
1,40976
Таблица № 3
-
х
у
№ варианта
х
0,35
2,73951
3
0,526
0,41
2,30080
9
0,453
0,47
1,96864
15
0,482
0,51
1,78776
21
0,552
0,56
1,59502
27
0,436
0,64
1,34310
Таблица № 4
-
х
у
№ варианта
х
0,41
2,57418
4
0,616
0,46
2,32513
10
0,478
0,52
2,09336
16
0,665
0,60
1,86203
22
0,537
0,65
1,74926
28
0,673
0,72
1,62098
Таблица № 5
-
х
у
№ варианта
х
0,68
0,80866
5
0,896
0,73
0,89492
11
0,812
0,80
1,02964
17
0,774
0,88
1,20966
23
0,955
0,93
1,34087
29
0,715
0,99
1,52368
Таблица № 6
-
х
у
№ варианта
х
0,11
9,05421
6
0,314
0,15
6,61659
12
0,235
0,21
4,69170
18
0,332
0,29
3,35106
24
0,275
0,35
2,73951
30
0,186
0,40
2,36522
Пример 7. Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, если функция задана в неравноотстоящих узлах таблицы.
Интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид
где
На практике для расчетов используют следующий алгоритм:
Строится таблица для нескольких узлов
Произведение
диагонали равно
2. Вычисляются
:
– – – – – – – – – – – – – –
будет знаменателем в формуле Лагранжа
3.
-
x
y
0,35
0,41
0,47
0,51
0,56
0,64
2,73951
2,30080
1,96864
1,78776
1,59502
1,34310
|
0,35 |
0,41 |
0,47 |
0,51 |
0,56 |
0,64 |
|
|
0,35 |
0,086 |
–0,06 |
–0,12 |
–0,16 |
–0,21 |
–0,29 |
|
–454087,5 |
0,41 |
0,06 |
0,026 |
–0,06 |
–0,1 |
–0,15 |
–0,23 |
|
7145341,6 |
0,47 |
0,12 |
0,06 |
–0,034 |
–0,04 |
–0,09 |
–0,17 |
|
13392108 |
0,51 |
0,16 |
0,1 |
0,04 |
–0,074 |
–0,05 |
–0,13 |
|
–5823322,5 |
0,56 |
0,21 |
0,15 |
0,09 |
0,05 |
–0,124 |
–0,08 |
|
1134438,12 |
0,64 |
0,29 |
0,23 |
0,17 |
0,13 |
0,08 |
–0,204 |
|
–55832,2 |
Ответ:
Задание 5. Используя первую или вторую интерполяционную формулу Ньютона, вычислить значения функции при данных значениях аргумента.
Таблица №1
х |
у |
|
№ варианта |
Значения аргумента |
|||
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
|||
1,415 |
0,888551 |
|
1 |
1,4161 |
1,4625 |
1,4135 |
1,470 |
1,420 |
0,889599 |
|
11 |
1,4179 |
1,4633 |
1,4124 |
1,4655 |
1,425 |
0,890637 |
|
21 |
1,4263 |
1,4575 |
1,410 |
1,4662 |
1,430 |
0,891667 |
|
|
|
|
|
|
1,435 |
0,892687 |
|
|
|
|
|
|
1,440 |
0,893698 |
|
|
|
|
|
|
1,445 |
0,894700 |
|
|
|
|
|
|
1,450 |
0,895693 |
|
|
|
|
|
|
1,455 |
0,896677 |
|
|
|
|
|
|
1,460 |
0,897653 |
|
|
|
|
|
|
1,465 |
0,898619 |
|
|
|
|
|
|
Таблица № 2
х |
у |
|
№ варианта |
Значения аргумента |
|||
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
|||
0,101 |
1,26183 |
|
2 |
0,1026 |
0,1440 |
0,099 |
0,161 |
0,106 |
1,27644 |
|
12 |
0,1035 |
0,1492 |
0,096 |
0,153 |
0,111 |
1,29122 |
|
22 |
0,1074 |
0,1485 |
0,1006 |
0,156 |
0,116 |
1,30617 |
|
|
|
|
|
|
0,121 |
1,32130 |
|
|
|
|
|
|
0,126 |
1,33660 |
|
|
|
|
|
|
0,131 |
1,35207 |
|
|
|
|
|
|
0,136 |
1,36773 |
|
|
|
|
|
|
0,141 |
1,38357 |
|
|
|
|
|
|
0,146 |
1,39959 |
|
|
|
|
|
|
0,151 |
1,41579 |
|
|
|
|
|
|
Таблица № 3
х |
у |
|
№ варианта |
Значения аргумента |
|||
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
|||
0,15 |
0,860708 |
|
3 |
0,1511 |
0,6350 |
0,1430 |
0,80 |
0,20 |
0,818731 |
|
13 |
0,1535 |
0,6933 |
0,100 |
0,7540 |
0,25 |
0,778801 |
|
23 |
0,1525 |
0,6730 |
0,1455 |
0,85 |
0,30 |
0,740818 |
|
|
|
|
|
|
0,35 |
0,704688 |
|
|
|
|
|
|
0,40 |
0,670320 |
|
|
|
|
|
|
0,45 |
0,637628 |
|
|
|
|
|
|
0,50 |
0,606531 |
|
|
|
|
|
|
0,55 |
0,576950 |
|
|
|
|
|
|
0,60 |
0,548812 |
|
|
|
|
|
|
0,65 |
0,522046 |
|
|
|
|
|
|
0,70 |
0,496585 |
|
|
|
|
|
|
Таблица № 4
х |
у |
|
№ варианта |
Значения аргумента |
|||
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
|||
0,180 |
5,61543 |
|
4 |
0,1817 |
0,2275 |
0,175 |
0,2375 |
0,185 |
5,46693 |
|
14 |
0,1827 |
0,2292 |
0,1776 |
0,240 |
0,190 |
5,32634 |
|
24 |
0,1873 |
0,2226 |
0,1783 |
0,245 |
0,195 |
5,19304 |
|
|
|
|
|
|
0,200 |
5,06649 |
|
|
|
|
|
|
0.205 |
4,94619 |
|
|
|
|
|
|
0,210 |
4,83170 |
|
|
|
|
|
|
0,215 |
4,72261 |
|
|
|
|
|
|
0,220 |
4,61855 |
|
|
|
|
|
|
0,225 |
4,51919 |
|
|
|
|
|
|
0,230 |
4,42422 |
|
|
|
|
|
|
Таблица № 5
х |
у |
|
№ варианта |
Значения аргумента |
|||
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
|||
3,50 |
33,1154 |
|
5 |
3,522 |
4,016 |
3,475 |
4,25 |
3,55 |
34,8133 |
|
15 |
3,543 |
4,034 |
3,488 |
4,30 |
3,60 |
36,5982 |
|
25 |
3,575 |
4,042 |
3,45 |
4,204 |
3,65 |
38,4747 |
|
|
|
|
|
|
3,70 |
40,4473 |
|
|
|
|
|
|
3,75 |
42,5211 |
|
|
|
|
|
|
3,80 |
44,7012 |
|
|
|
|
|
|
3,85 |
46,9931 |
|
|
|
|
|
|
3,90 |
49,4024 |
|
|
|
|
|
|
3,95 |
51,9354 |
|
|
|
|
|
|
4,00 |
54,5982 |
|
|
|
|
|
|
4,05 |
57,3975 |
|
|
|
|
|
|
Таблица № 6
х |
у |
|
№ варианта |
Значения аргумента |
|||
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
|||
0,115 |
8,65729 |
|
6 |
0,1217 |
0,1636 |
0,1141 |
0,185 |
0,120 |
8,29329 |
|
16 |
0,1168 |
0,1645 |
0,110 |
0,1825 |
0,125 |
7,95829 |
|
26 |
0,1175 |
0,1613 |
0,1134 |
0,190 |
0,130 |
7,64893 |
|
|
|
|
|
|
0,135 |
7,36235 |
|
|
|
|
|
|
0,140 |
7,09613 |
|
|
|
|
|
|
0,145 |
6,84815 |
|
|
|
|
|
|
0,150 |
6,61659 |
|
|
|
|
|
|
0,155 |
6,39986 |
|
|
|
|
|
|
0,160 |
6,19658 |
|
|
|
|
|
|
0,165 |
6,00551 |
|
|
|
|
|
|
Таблица № 7
х |
у |
|
№ варианта |
Значения аргумента |
|||
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
|||
1,340 |
4,25562 |
|
7 |
1,3617 |
1,3821 |
1,3359 |
1,400 |
1,345 |
4,35325 |
|
17 |
1,3463 |
1,3868 |
1,335 |
1,3990 |
1,350 |
4,45522 |
|
27 |
1,3432 |
1,3836 |
1,3365 |
1,3975 |
1,355 |
4,56184 |
|
|
|
|
|
|
1,360 |
4,67344 |
|
|
|
|
|
|
1,365 |
4,79038 |
|
|
|
|
|
|
1,370 |
4,91306 |
|
|
|
|
|
|
1,375 |
5,04192 |
|
|
|
|
|
|
1,380 |
5,17744 |
|
|
|
|
|
|
1,385 |
5,32016 |
|
|
|
|
|
|
1,390 |
5,47069 |
|
|
|
|
|
|
Таблица № 8
х |
у |
|
№ варианта |
Значения аргумента |
|||
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
|||
0,01 |
0,991824 |
|
8 |
0,027 |
0,525 |
0,008 |
0,61 |
0,06 |
0,951935 |
|
18 |
0,1243 |
0,492 |
0,0094 |
0,66 |
0,11 |
0,913650 |
|
28 |
0,083 |
0,5454 |
0,0075 |
0,573 |
0,16 |
0,876905 |
|
|
|
|
|
|
0,21 |
0,841638 |
|
|
|
|
|
|
0,26 |
0,807789 |
|
|
|
|
|
|
0,31 |
0,775301 |
|
|
|
|
|
|
0,36 |
0,744120 |
|
|
|
|
|
|
0,41 |
0,714193 |
|
|
|
|
|
|
0,46 |
0,685470 |
|
|
|
|
|
|
0,51 |
0,657902 |
|
|
|
|
|
|
0,56 |
0,631442 |
|
|
|
|
|
|
Таблица № 9
х |
у |
|
№ варианта |
Значения аргумента |
|||
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
|||
0,15 |
4,4817 |
|
9 |
0,1539 |
0,2369 |
0,14 |
0,2665 |
0,16 |
4,9530 |
|
19 |
0,1732 |
0,2414 |
0,1415 |
0,27 |
0,17 |
5,4739 |
|
29 |
0,1648 |
0,2450 |
0,1387 |
0,28 |
0,18 |
6,0496 |
|
|
|
|
|
|
0,19 |
6,6859 |
|
|
|
|
|
|
0,20 |
7,3891 |
|
|
|
|
|
|
0,21 |
8,1662 |
|
|
|
|
|
|
0,22 |
9,0250 |
|
|
|
|
|
|
0,23 |
9,9742 |
|
|
|
|
|
|
0,24 |
11,0232 |
|
|
|
|
|
|
0,25 |
12,1825 |
|
|
|
|
|
|
Таблица № 10
х |
у |
|
№ варианта |
Значения аргумента |
|||
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
|||
0,45 |
20,1946 |
|
10 |
0,455 |
0,5575 |
0,44 |
0,5674 |
0,46 |
19,6133 |
|
20 |
0,4732 |
0,5568 |
0,445 |
0,57 |
0,47 |
18,9425 |
|
30 |
0,4675 |
0,5511 |
0,4423 |
0,58 |
0,48 |
18,1746 |
|
|
|
|
|
|
0,49 |
17,3010 |
|
|
|
|
|
|
0,50 |
16,3123 |
|
|
|
|
|
|
0,51 |
15,1984 |
|
|
|
|
|
|
0,52 |
13,9484 |
|
|
|
|
|
|
0,53 |
12,5508 |
|
|
|
|
|
|
0,54 |
10,9937 |
|
|
|
|
|
|
0,55 |
9,2647 |
|
|
|
|
|
|
0,56 |
7,3510 |
|
|
|
|
|
|
