1.4. Метод исключения «пассивных» участков цепи

 Любой резистор, находящийся между узлами с равными потенциалами, можно исключить из цепи, т.к. ток по нему не течет и резистор «пассивен». То же относится к любому элементу цепи, который находится между точками цепи с равными потенциалами.

 Задача 1. Найти сопротивление цепи, изображенной на рисунке, если все сопротивления всех резисторов одинаковы и равны R. Сопротивлением подводящих проводов пренебречь.

 Решение.

 Преобразуем объемную схему в плоскую. Для этого объединим попарно точки А и А^/, В и В^/, С и С^/, D и D^/, т.е. верхнюю плоскость куба «опустим» на нижнюю, т.к. сопротивление соединительных проводов равно нулю. «Новая» схема изображена на рисунке.

 Из симметрии ветвей цепи видно, что точки В и D имеют равные потенциалы. Резисторы, находящиеся между этими точками, «пассивны», ток через них не течет, их можно исключить. После этого легко найти эквивалентную схему цепи (рис.)

и ее полное сопротивление − R/2.

 Задача 2. Найти сопротивление цепи, которая представляет собой фигуру, составленную из трех одинаковых обручей (рис. а). Сопротивление каждой полуокружности обруча равно R.

 Решение.  Цепь имеет четыре точки С, D, E, F с одинаковыми потенциалами, т.к. при повороте фигуры вокруг оси АВ эти точки поочередно совмещаются. Следовательно, элементы цепи, связывающие эти точки, можно исключить (рис. б), т.е. «убрать» обруч CDEF. В результате получится цепь из четырех параллельных резисторов (рис. в) эквивалентным сопротивлением R/4.

1.6. Метод разделения узлов

 Метод разделения узлов схемы является логическим продолжением двух предыдущих и основан на том, что, если возможно объединение двух равнопотенциальных узлов, то возможен и обратный переход: узел схемы можно разделить на два или несколько узлов, если получившиеся при этом узлы имеют прежние одинаковые потенциалы. Обязательным условием при этом является проверка равенства потенциалов получившихся при разделении узлов.

 Задача 1. Найти сопротивление цепи, которая представляет собой каркас из одинаковых отрезков проволоки (рис.) сопротивлением R каждый.

 Решение.  Разделим узел О на два узла. Очевидно, что потенциалы получившихся узлов О^/ и О^// не равны (рис. а),

а узлов О₁ и О₂ − равны (рис. б).

 Значит верное разделение узла О показано на рис. б. Сопротивление получившейся эквивалентной схемы (рис. в) легко найти − оно равно 3R/2.

 Задача 2. Найти сопротивление цепи, которая представляет собой каркас из одинаковых отрезков проволоки (рис. а) сопротивлением R каждый.

 Решение.  Узел О схемы можно разделить на несколько узлов разными способами. Варианты разделения, показанные на рис. б, в, г − неверны, т.к. потенциалы получившихся узлов О^/, О^// и О^/// не будут одинаковыми.

 Верный вариант показан на рис. д,

получившаяся схема симметрична относительно оси АВ, а потенциалы точек O₁, O₂ и О₃ одинаковы и равны половине разности потенциалов между точками А и В. В результате этого преобразования искомое сопротивление легко находится с помощью поэтапного расчета (рис. е)

и равно 4R/5.