2.3. Случайные величины и их распределения

Случайной величиной называется величина Х, которая в результате опыта может принимать одно из значений х₁, х₂, …, х_i, …, х_n, образующих полную группу несовместных событий, причем неизвестно заранее, какое именно.

По характеру реализаций случайные величины делят на дискретные и непрерывные. Дискретной случайной величиной называют случайную величину Х, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения х_i с определенными вероятностями р_i.

Законом распределения случайной величины Х называется совокупность пар чисел (х_i, р_i), где х_i – возможные значения случайной величины, р_i – вероятности, с которыми она принимает эти значения. При этом

.

Простой формой задания закона распределения дискретной случайной величины является ряд распределения. Он описывается в виде таблицы, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности.

Непрерывной случайной величиной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений случайной непрерывной величины бесконечно.

Функцией распределения непрерывной случайной величины называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, не больше х:

F(x) = Р(Х  х).

Очевидно, что функция распределения является неубывающей и ее значения принадлежат отрезку [0, 1]. Из определения функции F(x) следует, что вероятность попадания значения случайной величины в интервал от x₁ до x₂ равна приращению функции распределения на этом интервале:

Р(x₁  Х  x₂) = F(x₂) – F(x₁).

Отсюда можно сделать следующие заключения:

1) вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, равна 0;

2) F(–) = 0;

3) F() = 1.

Так как функция распределения F(x) в силу непрерывности случайной величины Х предполагается непрерывной и дифференцируемой, то можно найти ее производную:

.

Функцию р(х) называют плотностью распределения или плотностью вероятности непрерывной случайной величины. Она имеет следующие свойства:

1) плотность распределения есть неотрицательная функция;

2) имеет место равенство:

;

3) плотность распределения определяет функцию распределения случайной величины по формуле:

;

4) вероятность попадания случайной величины в интервал [a, b) определяется по формуле:

.

2.4. Числовые характеристики случайной величины

Несмотря на то, что наиболее полными характеристиками случайной величины являются законы их распределения, в ряде случаев не требуется столь исчерпывающая информация, достаточно иметь лишь некоторые ее числовые характеристики. Различают характеристики положения и характеристики рассеивания и вероятностных взаимодействий.

Основными характеристиками положения случайной величины являются математическое ожидание, мода и медиана. Математическое ожидание дискретной случайной величины М[X] есть сумма произведений всех возможных значений случайной величины х_i на их вероятности р_i:

.

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание вычисляется по формуле

.

Модой дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Модой непрерывной случайной величины называется ее значение, при котором плотность вероятности принимает максимальное значение. Медианой случайной величины X называется такое ее значение Y, для которого выполняется равенство

P(X < Y) = P(X > Y) = 0.5.

Основными характеристиками рассеивания случайной величины являются ее начальные и центральные моменты. Начальным моментом k-го порядка _k[X] случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени от этой случайной величины:

_k[X] = M[X^k].

Для определения центрального момента введем понятие центрированной случайной величины Х. Центрированной случайной величиной Х, соответствующей случайной величине Х, называется отклонение случайной величины от ее математического ожидания M[X] = m, т.е. Х = Х – m. Центральным моментом k-го порядка _k[X] случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени центрированной случайной величины X.

Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины. Дисперсия характеризует рассеивание значений случайной величины. Она обозначается следующим образом:

₂[X] = D[X] = D_x = ².

Для дискретной случайной величины дисперсия вычисляется по формуле

.

Для непрерывной случайной величины:

.

Величина называется среднее квадратическое, или стандартное, отклонение случайной величины.

Для оценки степени независимости случайных величин X и Y вводится числовая характеристика, называемая корреляционным (ковариационным) моментом случайных величин X и Y. Это есть число

K(x, y) = M{(X – M[[X])(Y – M[Y])} = M[XY] – M[X]M[Y].

Корреляционный момент характеризует вероятностную зависимость между случайными величинами.