Б. Вращение гск вокруг осей. Гироскопа в инерциальном пространстве вследствие вращения Земли и движения судна

Определим угловые скорости переносного движения вокруг осей Х, У и Z свободного гироскопа с тремя степенями свободы. С этой целью необходимо полученные угловые скорости (42-44) последовательно спроецировать на оси гироскопа. Для этого возьмем гироскоп, главная ось которого отклонена от меридиана на угол α к востоку и приподнята над плоскостью горизонта на угол β. Обозначим угловые скорости переносного движения вокруг осей Х,У и Z гироскопа через ω_{пер Х}, ω_{пер У}, ω_{пер Z} соответственно. Они являются функциями углов α и β. Их величины определяются алгебраической суммой соответствующих проекций по осям гироскопа:

по оси X: ; (45)

по оси У: (46)

по оси Z: (47)

Подставив в выражения (45-47) соответствующие значения из (42-44), и произведя несложные преобразования, получим:

; (48)

; (49)

. (50)

Уравнения (48-50) характеризуют угловые скорости вращения земных плоскостей (ГСК) вокруг осей гироскопа в инерциальном пространстве в результате суточного вращения Земли и движения судна по её поверхности.

Они показывают, что эти угловые скорости зависят от широты плавания, линейной скорости, путевого угла судна, а также от положения главной оси гироскопа относительно земных плоскостей , которое определяется сферическими координатами α и β.

4. Абсолютное движение

Найдем выражения для угловых скоростей абсолютного движения.

Для свободного гироскопа угловая скорость абсолютного движения равна нулю, т.к. его главная ось сохраняет неизменное направление относительно инерциального пространства. Гироскоп может перемещаться, относительно инерциального пространства только совершая прецессионное движение. Следовательно, если гироскоп прецессирует, то угловая скорость абсолютного движения равна угловой скорости прецессии. Конструкция одного гироскопа такова, что он может прецессировать только вокруг осей, лежащих в плоскости XYZ. Угловую скорость прецессии вокруг оси Y гироскопа обозначим ω_ру, вокруг оси Z – ω_pz.

В соответствии с техническими уравнениями движения гироскопа величина ω_ру –угловая скорость прецессии под действием момента внешней силы L_z и определяется по формуле:

ω_ру = - Lz/H. (51)

Величина ω_pz – угловая скорость прецессии гироскопа под действием момента внешней силы Ly

ω_pz = Ly/H (52)

5. Уравнения движения гироскопа

В соответствии с теорией сложения скоростей, произведем сложение всех проекций угловых скоростей по осям гироскопа.

Алгебраическая сумма проекций угловых скоростей относительного (34) и переносного (49) движений на ось Y гироскопа равна проекции угловой скорости абсолютного движения ω_ру (51) на ту же ось Y :

. (53)

Алгебраическая сумма проекций угловых скоростей относительного (35) и переносного (50) движений на ось Z гироскопа равна проекции угловой скорости абсолютного движения ω_pz (52) на ту же ось Z :

. (54)

Уравнения (53) и (54), связывающие относительные угловые скорости α и β с переносными (остальные слагаемые левых частей уравнений) и абсолютными ω_ру и ω_рz называются уравнениями движения гироскопа.

Первые слагаемые уравнений характеризуют угловую скорость вращения главной оси гироскопа относительно земных плоскостей (ГСК). Последующие слагаемые левых частей уравнений определяют угловые скорости вращения земных плоскостей относительно инерциального пространства. Правые части уравнений характеризуют угловую скорость перемещения главной оси гироскопа относительно инерциального пространства. Перепишем технические уравнения гироскопа (11) в виде:

. (55)

Сравнивая уравнения,(53), (54) с уравнениями (55), видно, что те и другие, выражают один и тот же закон движения главной оси гироскопа в инерциальном пространстве.

Уравнения .(55) более строго описывают движение гироскопа, так как учитывают инерционные, члены, характеризующие нутационные колебания главной оси гироскопа.

Выведенные уравнения (53) и (54) не учитывают нутацию, но хорошо раскрывают физическую сущность движения гироскопа относительно земных плоскостей; более удобны для объяснения принципа работы навигационных гироскопических устройств и для производства расчетов.

Некоторые навигационные приборы и системы имеют гироскопические элементы, состоящие из нескольких гироскопов, например, гиросфера гирокомпаса типа «Курс».

Конструкция таких элементов позволяет им прецессировать не только вокруг осей У и Z, но и вокруг оси X с угловой скоростью ω_рх. В этом случае необходимо учитывать и вращение ГСК вокруг оси X. Напишем третье уравнение движения названного выше гироскопического элемента вокруг оси Х с учетом зависимостей (35а), (36) и (48);

. (56)

В заключение лекции следует отметить, что для свободного гироскопа с тремя степенями свободы правые части уравнений (63) и (64) не равны 0. Это означает, что главная ось свободного гироскопа не сохраняет постоянства направления относительно земных плоскостей; она непрерывно изменяет азимут и высоту. Следовательно, свободный гироскоп нельзя на длительное время использовать в качестве указателя направления, если нет дополнительных устройств, учитывающих видимый уход главной оси от первоначального положения.