Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеуді интегралдау тәсілдері.
а) (9.2) n – ші ретті дифференциалдық теңдеудің оң жағындағы функция тәуелсіз айнымалы х –тен ғана тәуелді болсын, яғни теңдеу мына түрде берілсін:
.
(9.28)
Теңдеуді шешу үшін ретін төмендету тізбектеп интегралдау арқылы жүзеге асады. Сонда
,
яғни (9.28) дифференциалдық теңдеуді интегралдау арқылы алынған f(x) функциясының n –ші ретті алғашқы функциясы теңдеудің жалпы шешімі болады.
б)
(9.1) дифференциалдық теңдеудің құрамында
ізделіп отырған
функциясы
мен оның (k-1)
– ретті туындысын қоса алғандағы
туындылары енбейтін болсын, яғни теңдеу
мына түрде берілсін:
.
(9.29)
Теңдеуді
шешу үшін жаңа
айнымалысын енгіземіз:
.
(9.30)
Сонда
,
онда берілген (9.29) теңдеу мына түрге
келеді:
.
Теңдеуді
шешіп,
дифференциалдық теңдеуін аламыз, ары
қарай а) жағдайындағыдай k
рет дифференциалдау арқылы шешіледі.
в) (9.1) дифференциалдық теңдеудің құрамында тәуелсіз айнымалы х енбейтін болсын, яғни теңдеу мына түрде берілсін:
.
(9.31)
Теңдеуді шешу үшін мына алмастыруды енгіземіз:
.
(9.32)
Сонда
,
(9.33)
онда берілген теңдеу мына түрге келеді:
,
(9.34)
яғни
функциясы бойынша (n-1)
–ші ретті дифференциалдық теңдеу.
(9.34) теңдеудің шешімі болады. Ол
және теңдеудің реті (n-1)
болғандықтан,
берілген (9.31) дифференциалдық теңдеудің
жалпы шешімі болады.
Мысалдар.
1.
теңдеуін шешіңіз.
Шешуі. Берілген теңдеу (9.28) түріне келеді, ендеше теңдеуді тізбектей төрт рет интегралдап, шешімін аламыз:
,
,
,
.
- берілген
теңдеудің жалпы шешімі.
2.
теңдеуін шешіңіз.
Шешуі.
Берілген теңдеу (9.31) түріне келеді,
ендеше
белгілеулерін енгіземіз, сонда
.
Бұл айнымалылары ажыратылатын теңдеу,
онда
.
Интегралдасақ,
.
Бастапқы айнымалыға көшсек,
- берілген теңдеудің жалпы шешімі.
3.
бастапқы шарттарын қанағаттандыратын
теңдеуінің дербес шешімін табыңыз.
Шешуі.
Берілген теңдеу (9.31) түріне келеді,
ендеше теңдеуді шешу үшін мына алмастыруды
енгіземіз:
,
сонда
.
болғандықтан (себебі,
бастапқы шарт
дегенге қайшы келеді),
- бірінші ретті сызықты дифференциалдық
теңдеу алдық. Бұл теңдеуді Бернулли
тәсілімен шешейік.
деп алсақ:
немесе
.
Алдымен
теңдеуін шешеміз:
.
Енді
,
.
Интегралдасақ,
,
яғни
.
Ендеше,
,
.
Бастапқы айнымалыға көшсек,
,
аламыз. Осы теңдеуге
шарттарын қойып, С1
– дің мәнін табамыз:
,
онда
теңдеуін аламыз, бұдан
.
шарттарын қойып, С2
– нің мәнін табамыз:
.
Сонымен,
- берілген теңдеудің дербес шешімі.
Коэффициенттері тұрақты сызықты дифференциалдық теңдеу
Біртекті сызықты дифференциалдық теңдеу.
Мына түрдегі
(9.35)
теңдеу,
мұндағы
- тұрақты нақты сандар, коэффициенттері
тұрақты біртекті сызықты дифференциалдық
теңдеу деп
аталады. Бұл теңдеудің дербес шешімін
Эйлер тәсілі бойынша
(9.36)
(мұндағы
- Л.Эйлер ұсынған тұрақты сан) түрінде
іздейміз. Осы функцияны дифференциалдап:
,
(9.35) теңдеуге қойсақ, теңдеу мына түрге
келеді:
,
мұндағы
,
ендеше
.
(9.37)
(9.37) - теңдік берілген (9.35) - біртекті сызықты дифференциалдық теңдеуге сәйкес сипаттаушы теңдеу, ал
(9.38)
сипаттаушы көпмүшелік деп аталады.
Сонымен,
(9.35) теңдеудің (9.36) шешіміндегі
саны (9.37) сипаттаушы теңдеудің шешімдері
болғанда ғана, берілген (9.35) теңдеудің
шешімі болады. Ендеше, сипаттаушы
теңдеудің шешімі болатын әрбір
үшін
шешімі сәйкес келеді. (9.37) сипаттаушы
теңдеуді шешкенде келесі үш жағдай
болуы мүмкін.
а) (9.37)
сипаттаушы теңдеудің түбірлері:
- әртүрлі және нақты. Онда (9.35) теңдеудің
дербес шешімдері:
.
(9.39)
Ал, жалпы шешім мына түрде жазылады:
,
(9.40)
мұндағы
- ерікті тұрақтылар.
б) (9.37)
сипаттаушы теңдеудің түбірлері:
- кейбіреуі k
еселі болсын. Мысалы,
- k
еселі, онда ол түбірге
шешімі сәйкес келеді, ал қалған шешімдер
жүйесін құрайтын (k-1)
шешім үшін
функциялары алынады. Сонда (9.35) теңдеудің
жалпы шешімі мына түрде жазылады:
(9.41)
в) (9.37)
сипаттаушы теңдеудің түбірлері:
- ішінде комплекстілері болсын, яғни,
мысалы,
,
онда ол түбірлерге сәйкес дербес
шешімдер:
функциялары алынады. Эйлер формуласы
бойынша
,
онда
(9.35)
теңдеудің осы екі нақты дербес түбірін
табайық. Ол үшін
және
деп аламыз.
Сонда (9.35) теңдеудің жалпы шешімі мына түрде жазылады:
.
(9.42)
Мысалдар.
1.
теңдеуінің жалпы шешімін табыңыз.
Шешуі.
Сипаттаушы теңдеу құрамыз:
.
Бұдан
.
Оның түбірлері:
.
Ендеше,
- берілген теңдеудің жалпы шешімі.
2.
теңдеуінің жалпы шешімін табыңыз.
Шешуі.
Сипаттаушы теңдеу құрамыз:
.
Бұдан
.
Оның түбірлері:
,
яғни түбірлердің ішінде
үш
еселі түбір.
Ендеше
немесе
- берілген теңдеудің жалпы шешімі.
3.
теңдеуінің жалпы шешімін табыңыз.
Шешуі.
Сипаттаушы теңдеу құрамыз:
.
Бұдан
.
Оның түбірлері:
.
Ендеше
- берілген теңдеудің жалпы шешімі.