2.2. Модель Гейзенберга

Мы установили, что в квантовой механике появляется связь энергии кулоновского взаимодействия электронов с их суммарной намагниченностью. Часть электростатической энергии является энергией обмена. Эта энергия не имеет классического аналога и исчезает в пределе .

В 1928 г. П. Дирак⁴ показал, что для специального случая электронов, описываемых ортогональными орбиталями, можно учесть принцип Паули, добавляя к гамильтониану член в форме:

. (2.10)

Полученный результат показывает, что зависящий от спинов вклад в энергию, связанный с принципом Паули, может при некоторых условиях рассматриваться как сумма парных спин-спиновых взаимодействий в виде

. (2.11)

Этот оператор хорошо известен как гамильтониан Гейзенберга, хотя в данной форме он был впервые получен Дираком, а первое его использование в теории магнетизма принадлежит Д. Ван-Флеку⁵. Рассматривая операторы как классические спины, можно сделать качественное заключение, что параллельная или антипараллельная ориентация и энергетически более выгодны в зависимости от того, положителен или отрицателен коэффициент .

Гамильтониан Гейзенберга (2.11) чрезвычайно привлекателен как отправная точка при вычислении эффектов спонтанной намагниченности, главным образом потому, что он позволяет применять мощную технику спиновых операторов. Однако имеются большие сомнения в том, можно ли использовать гамильтониан Гейзенберга для реальных кристаллов. Общепринятая точка зрения состоит в том, что гамильтониан Гейзенберга является подходящей основой для теории магнетизма в диэлектриках, где электроны более или менее локализованы, но выражение для обменной энергии гораздо сложнее, чем простая формула Гейзенберга. В частности, часто содержит вклады от ряда различных эффектов.

Модель Гейзенберга предполагает, что спонтанная намагниченность возникает вследствие связи между спинами , а не полными моментами количества движения . Рассмотрение систем, в которых практически весь вклад в магнитный момент дает спиновый момент количества движения, позволяет избежать ряда алгебраических трудностей. В этом случае оператор магнитного момента:

. (2.12)

Данное предположение, конечно, в точности выполняется в атомах или ионах, где , например, Mn²⁺; оно может служить разумным приближением для большинства переходных металлов, но совершенно не подходит для редкоземельных ионов (кроме тех, для которых ).

Примем для обсуждения следующую модель. Кристалл содержит атомы с магнитными моментами, которые связаны со спиновыми моментами согласно (2.12). Поскольку мы будем иметь дело в основном с изоляторами, то могут присутствовать и немагнитные атомы. Магнитные атомы испытывают парные взаимодействия в соответствии с (2.11), а также подвергаются действию внешнего поля. В этих условиях исходный гамильтониан для всего кристалла записывается в виде

, (2.13)

где первый член – энергия взаимодействия Гейзенберга, а второй – зеемановская энергия взаимодействия во внешнем поле , направление которого выбрано в качестве оси .

Сразу надо указать, что подобный гамильтониан игнорирует целый ряд факторов, важных при выяснении магнитных свойств реальных кристаллов, а именно:

1. не учитываются возможные вклады в магнитный момент от орбитального движения (в грубом приближении можно учесть этот эффект, допуская отклонение g-фактора от чисто «спинового» значения);

2. не учитывается влияние кристаллической решетки, которое приводит к возникновению магнитной анизотропии;

3. не включены размагничивающие эффекты, зависящие от формы образца и могущие играть важную роль для систем в состояниях, близких к магнитному насыщению;

4. более того, модель не учитывает возможные анизотропные и антисимметричные обменные взаимодействия; в случае анизотропного обмена член должен иметь вид:

,

причем хотя бы два из , , не должны равняться друг другу. Антисимметричное обменное взаимодействие имеет вид

.

Все эти пренебрежимо малые эффекты могут влиять на коллективные магнитные свойства отдельных кристаллов, но в общем случае они имеют второстепенное значение по сравнению с членами (2.13). Попытка учесть все перечисленные выше явления чрезвычайно усложнила бы рассматриваемую проблему, в то время как простая модель (2.13) позволит объяснить все основные свойства ферромагнетиков и антиферромагнетиков.

Но, даже эта упрощенная задача (решение гамильтониана (2.13)) чрезвычайно сложна. Если кристалл имеет атомов, то гейзенберговская часть гамильтониана будет содержать членов, а зеемановская часть – членов. Однако имеется два обстоятельства, позволяющие ввести некоторые упрощения. Во-первых, если мы рассматриваем кристаллы из атомов одного сорта, а все узлы магнитной решетки считаем эквивалентными, то все ближайшие соседи будут взаимодействовать одинаковым образом. То же можно сказать о вторых по близости соседях и т.д. Во-вторых, поскольку обменное взаимодействие по предположению быстро падает с расстоянием, надо рассматривать только несколько ближайших взаимодействий, так что большинством членов первой суммы (2.13) можно пренебречь. Обычно ограничиваются взаимодействием ближайших соседей (часто говорят о приближении ближайших соседей):

, (2.14)

где - обменное взаимодействие ближайших соседей, а первая сумма подразумевает суммирование по ближайшим соседям.

В принципе, термодинамические свойства системы, описываемой гамильтонианом (2.14), можно найти путем определения собственных значений . На практике эта задача для трехмерного кристалла оказалась слишком сложной для прямого вычисления, поэтому были разработаны различные методы приближенного решения. Один из интенсивно исследовавшихся классов приближенных методов основывался на выделении в кристалле малой области, для которой задача решалась точно, а затем обменное взаимодействие этой малой области с остальной частью кристалла учитывалось приближенно. Поскольку результатом обменных взаимодействий является упорядочение магнитных моментов, физически разумным кажется приближение, состоящее в замене этих взаимодействий эффективным полем, свойства которого должны быть подходящим образом определены.