3. Парамагнетизм; формула Ланжевена и закон Кюри

Электронный парамагнетизм (положительный вклад в ) проявляют следующие классы физических объектов.

1. Атомы, молекулы и дефекты решетки, у которых число электронов нечетное. В этом случае полный спин системы не может быть равен нулю. Примером таких систем служат свободные атомы Na, органические свободные радикалы, F-центры в кристаллах галогенидов щелочных металлов.

2. Свободные атомы и ионы с незаполненной внутренней оболочкой, т.е. переходные элементы, редкоземельные металлы, актиниды. Примерами могут служить Mn²⁺, Gd³⁺, V⁴⁺. Многие из этих ионов обнаруживают парамагнетизм и при объединении в твердом теле, но не всегда.

3. Некоторые соединения с четным числом электронов, включая молекулы кислорода и органические бирадикалы.

4. Металлы.

Если не рассматривать класс металлов, то остальные объекты – это системы с локализованными магнитными моментами. Наиболее распространенный случай парамагнитной системы – парамагнитные ионы в некоторой немагнитной матрице.

Как описать поведение намагниченности с изменением температуры и магнитного поля в такой системе парамагнитных ионов, в предположении, что магнитные моменты никак не взаимодействуют между собой. Рассмотрим сначала классический случай, когда предполагается, что проекция каждого магнитного момента на некоторую ось (например, направление магнитного поля) может принимать любые значения.

Пусть есть система, содержащая N невзаимодействующих частиц в единице объема (под частицами можно понимать атомы или ионы), каждая из которых обладает магнитным моментом . Намагниченность системы возникает в результате ориентирования магнитных моментов под действием внешнего магнитного поля, Рис. 1.6; ориентирующему действию поля препятствует лишь тепловое движение. Энергия взаимодействия момента с внешним магнитным полем описывается скалярным произведением, Рис. 1.7,

(1.34)

г

Рис. 1.6. В нулевом магнитном поле суммарный момент статистической системы невзаимодействующих магнитных моментов.

де - угол между вектором момента и направлением поля. Величина намагниченности (вдоль направления магнитного поля) определяется в этом случае соотношением

, (1.35)

г

Рис. 1.7. К определению энергии магнитного момента в магнитном поле .

де - среднее значение , взятое по пространственному распределению магнитных моментов в состоянии теплового равновесия.

Согласно закону распределения Больцмана (применимому в данном случае), относительная вероятность того, что момент частицы расположен в элементе телесного угла , пропорциональна , и поэтому

, (1.36) Интегрирование в (1.36) должно быть выполнено по полному телесному углу, т.е. по всем значениям азимутального угла , что сразу дает , и по всем значениям

, (1.37)

поскольку . Введя для сокращения обозначения и , вычислим (1.37):

(1.38)

Соотношение (1.38) определяет функцию Ланжевена . Тогда для намагниченности мы получим формулу Ланжевена:

(1.39)

Н

Рис. 1.8. График функции Ланжевена.

а Рис. 1.8 показано поведение намагниченности в соответствии с выражением (1.39). При ( , низкие температуры или сильные магнитные поля) функция Ланжевена стремится к единице и, следовательно, , т.е. парамагнетик намагничивается до насыщения. При ( , высокие температуры и малые магнитные поля) функцию Ланжевена можно разложить в ряд

. (1.40)

Если в разложении ограничиться первыми двумя членами, то для функции Ланжевена получаем

,

а уравнение (1.39) для намагниченности приобретает вид:

, (1.41)

здесь

(1.42)

– постоянная Кюри. Результат (1.41) известен как закон Кюри и справедлив он в предельном случае . Для восприимчивости выражение приобретает вид

(1.43)

Здесь нужно заметить, что часто при анализе экспериментальных данных, чтобы сделать предварительные заключения о характере магнитного состояния исследуемого материала, рассматривают поведение обратной восприимчивости в зависимости от температуры . Если аппроксимация экспериментальных данных со стороны высоких температур дает зависимость , то вероятнее всего мы имеем дело с парамагнетиком. Более того по наклону зависимости (тангенс угла наклона зависимости равен ) можно определить магнитный момент частицы в системе , при известном количестве частиц , либо напротив, зная , определить .

Пример. Сделаем простые оценки. Можно считать, что для электрона магнитный момент совпадает с магнетоном Бора, эрг/гс. Тогда, при комнатной температуре в поле напряженностью гс мы имеем ( эрг/К); следовательно, в этих условиях мы уверенно можем заменить функцию Ланжевена приближенной величиной .