9. Принцип сжатых отображений.
Теорема Банаха : Пусть в полном метрическом пространстве дан оператор , переводящий элементы пространства снова в элементы этого же пространства.
- 20 -
Пусть
для любых 2-х точек
и
выполняется неравенство:
,
(*)
где
и не зависит от выбора
и
. Тогда существует одна и только одна
точка
такая, что
.
Точка называется неподвижной точкой оператора .
Упражнения 8.
Отображение А на полупрямой
переводит каждую точку
.
Является ли отображение сжимающим?
Имеет ли оно неподвижную точку ?Пусть
- функция заданная и дифференцируемая
на отрезке
,
причем имеют места неравенства:
.
Будет ли
уравнение
иметь решение ?
В п - мерном евклидовом пространстве найти условие
разрешимости системы
.
Функция
не имеет неподвижной точки, хотя
для
имеет место неравенство:
Нет ли здесь противоречия с теоремой Банаха ?
-20-
10. Компактные множества.
Пусть Х
- произвольное метрическое
пространство. Множество
называется компактным, если из
любой последовательности
элементов
этого множества можно выделить
сходящуюся подпоследовательность.
Если пределы таких
подпоследовательностей
принадлежат
М, то
множество М
называется компактным в себе. Ясно,
что множество компактно в себе, если
оно просто компактно и замкнуто.
Может оказаться, что всё метрическое пространство Х компактное (очевидно, в себе) множество. В этом случае Х называют компактом.
Примеры:
Множество точек отрезка
компактно в силу теоремы
Больцано - Вейерштрасса.
Множество точек всей прямой не компактно, т. к. последовательность {
} не содержит никакой сходящейся
подпоследовательности.
Следует отметить, что свойством компактности наряду с отрезками обладают все замкнутые ограниченные множества эвклидова пространства любой конечной размерности. Напротив, плоскость, прямая, трехмерное пространство служат простейшими примерами некомпактных пространств .
ТЕОРЕМА. Каждое компактное пространство полно.
Пусть
некоторое множество метрического
пространства Х
и
- заданное число. Множество
называется
- сетью множества А,
если для любого
существует такая точка
,
что
.
-21-
ТЕОРЕМА . Всякое компактное множество
при
любом
имеет содержащуюся в нем самом
конечную
- сеть ( т. е.
- сеть, состоящую из конечного числа
точек).
Упражнения 9:
Показать, что всякое компактное пространство сепарабельно.
Доказать, что всякое замкнутое подмножество компакта есть компакт.
Пусть А и В непустые компактные множества в пространстве Х. Доказать, что числа
,
где
образуют ограниченное числовое
множество.Может ли компактное множество быть неограниченным ?
Показать на примере, что существует такая ограниченная последовательность
,
из которой нельзя выделить сходящейся
подпоследовательности.