1. Модель распространения прав доступа Take-Grant.

Модель Take-Grant - это формальная модель, используемая в области компьютерной безопасности, для анализа систем дискреционного разграничения доступа; подтверждает либо опровергает степени защищенности данной автоматизированной системы, которая должна удовлетворять регламентированным требованиям. Модель представляет всю систему как направленный граф, где узлы - либо объекты, либо субъекты. Дуги между ними маркированы, и их значения указывают права, которые имеет объект или субъект (узел). В модели доминируют два правила: "давать" и "брать". Они играют в ней особую роль, переписывая правила, описывающие допустимые пути изменения графа. В общей сложности существует 4 правила преобразования: "брать", "давать", "создать", "удалить";

Обычная модель

О - множество объектов (файлы, сегменты памяти и т.д.)

S - множество субъектов (пользователи, процессы системы)

R = {r1, r2, r3, r4, ..., rn } U {t,g} - множество прав доступа

t [take] - право брать "права доступа"

g [grant] - право давать "права доступа"

G = (S, O, E) - конечный, помеченный, ориентированный граф без петель.

× - объекты, элементы множества О

• - субъекты, элементы множества S

E ∈ O x O x R - дуги графа. Состояние системы описывается ее графом.

Преобразование G в граф G' = правило и обозначается:

Правило "Брать"

Брать = take(r, x, y, s), r∈R,

Пусть s∈S, x,y∈O - вершины графа G

Тогда граф G:

Т.е. субьект S берет у объекта X права r на объект Y.

Правило "Давать"

Давать = grant(r, x, y, s), r∈R,

Пусть s∈S, x,y∈O - вершины графа G

Тогда граф G:

Т.е. субьект S дает объекту X права r на объект Y.

Правило "Создать"

Создать = create(r, x, s), r∈R,

Пусть s∈S, x,y∈O - вершины графа G

Тогда граф G:

П равило "Удалить"

Удалить = remove(r, x, s), r ∈ R,

Пусть s ∈ S, x,y ∈ O - вершиныграфа G

Тогда граф G:

2. Теоремы о передаче прав в графе доступов, состоящем из субъектов, и произвольном графе доступов.

В модели Take-Grant основное внимание уделяется определению ус­ловий, при которых в системе возможно распространение прав доступа определенным способом.

• способа санкционированного получения прав доступа;

• способа похищения прав доступа.

----Санкционированное получение прав доступа.

Данный способ характеризуется тем, что при передаче прав доступа не накладываются ограничения на кооперацию субъектов системы, участвующих в этом процессе.

Пусть х, уО - различные объекты графа доступа G₀=(S₀,O₀,E₀), R. Определим предикат "возможен доступ" (,х,у, G₀), который будет истинным тогда и только тогда, когда существуют графы G₁=(S₁,O₁,E₁),.... G_n=(S_n,O_n,E_n), такие, что:

G₀├op1 G₁├op2…├opN G_n и (x,y,)E_n.

Определение 1. Говорят, что вершины графа доступов являются tg-связными или что они соединены tg-путем, если (без учета направле­ния дуг) в графе между ними существует такой путь, что каждая дуга этого пути помечена t или g. Будем говорить, что вершины непосредственно tg-связны, если tg-путъ между ними состоит из единственной дуги.

Теорема 1. Пусть G₀=(S₀,O₀,E₀) - граф доступов, содержащий толь­ко вершины-субъекты. Тогда предикат "возможен доступ" (,х,у,G₀) исти­нен тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия 1 и 2.

Условие 1. Существуют субъекты s_l .... s_m, такие, что (s_i,y,_i,)E₀ для i=1,...,m и  = ₁…_m.

Условие 2. Субъект х соединен в графе G₀ tg-путем с каждым субъ­ектом s_i, для i=1,...,m.

Для определения истинности предиката "возможен доступ" в произ­вольном графе необходимо ввести ряд дополнительных понятий.

Определение 2. Островом в произвольном графе доступов G₀ назы­вается его максимальный tg-связный подграф, состоящий только из вер­шин субъектов.

Определение 3. Мостом в графе доступов G₀ называется tg-путь, концами которого являются вершины-субъекты; при этом словарная запись tg-пути должна иметь вид ^→t*. ^←t*, ^→t*^→g^←t*, ^→t*^←g^←t*, где символ * означа­ет многократное (в том числе нулевое) повторение.

Определение 4. Начальным пролетом моста в графе доступов G₀ на­зывается tg-путь, началом которого является вершина-субъект; при этом словарная запись tg-пути должна иметь вид ^→t*^→g.

Определение 5. Конечным пролетом моста в графе доступов G₀ на­зывается tg-путь, началом которого является вершина-субъект; при этом словарная запись tg-пути должна иметь вид ^→t*.

Теорема 2. Пусть G₀=(S₀,O₀,E₀) - произвольный граф доступов. Предикат "возможен доступ"(,х,у, G₀) истинен тогда и только тогда, когда выполняются условия 3, 4 и 5.

Условие 3. Существуют объекты s₁,...,s_m, такие, что (s_i,y,_i)E₀, i=1,...,m, и  = ₁…_m.

Условие 4. Существуют вершины-субъекты x₁,...,x_m и s₁,...,s_m, та­кие, что:

• х=х_i или х_i, соединен с х начальным пролетом моста для i=1,...,m;

• s_i=s_i или s_i соединен с а конечным пролетом моста для i=1,.... m.

Условие 5. Для каждой пары (х_i, s_i), i=1, ...,m, существуют острова l_i,1… l_i,ui, u_i1, такие, что х_il_i,1, s_il_i,uiи мосты между островами l_i,jи l_i,j+1,u_ij1.

----Похищение прав доступа

Способ передачи прав доступа предполагает идеальное сотрудничество субъектов В случае похищения прав доступа предполагается, что передача прав доступа объекту осуществляется без содействия субъекта, изначально обладавшего передаваемыми правами Пусть х,у О-различные объекты графа доступа Go = (So,O₀,Eo), a RОпределим предикат "возможно похищение" (a,x,y,Go), который будет ис­тинным тогда и только тогда, когда (x,y,a) Eo и существуют графы = ( ), , такие, что

и (x,y,a) , при этом, если (s,y,a) Eo, то =0,1, , Nвыполняется opK granf(a,s,z,y), К=1, N.

Теорема 2. Пусть Go = (So, Oo, Eo)- произвольный граф доступов Предикат "возможно похищение" (a,x,y,Go) истинен тогда и только тогда, когда выполняются условия 3, 4, 5

Условие 3(х,у,а) Ео

Условие 4Существуют объекты , ,s_m, такие, что (s,,y, ,) Eo для i=1, ,т и a =

Условие 5Являются истинными предикаты "возможен доступ" (t,x, s,Go) для i =1, ,m