Векторная алгебра Вариант 4

1. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (2a+b)(a–3b), б) |(2a+b)(a–3b)|,

где |a|=3, |b|=4, a^b=/3.

2. Найти косинус угла между стороной BC и медианой AM треугольника ABC, если и .

3. Найти площадь треугольника ABC, если и .

4. Найти объем пирамиды ABCD, если , и .

5. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (1;0;1), b = (0;–2;1), c = (1;3;0), d = (8;9;4).

6. Коллинеарны ли векторы c₁=5a+2b c₂=2b–3a если a={2;–14;6} и b={–3;21;–9}.

a b C 7. По двум заданным a и b построить вектор
a b A B K M D 8. В треугольнике ABC точка K делит сторону AC так, что 2|AK|=3|KC|, точка M делит медиану AD так, что 5|DM|=|MA|. Найти вектор , если и .

Векторная алгебра Вариант 5

1. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (2a+3b)(b–3a), б) |(2a+3b)(b–3a)|,

где |a|=6, |b|=2, a^b=/6.

2. Найти косинус угла между стороной BC и медианой BM треугольника ABC, если и .

3. Найти площадь треугольника ABC, если и .

4. Найти объем пирамиды ABCD, если , и .

5. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (1;1;0), b = (–4;3;2), c = (–1;2;1), d = (1;–1;–1).

6. Коллинеарны ли векторы c₁=2a+3b и c₂=3a–b, если a={–12;8;4} и b={9;–6;–3}.

a b 7. По двум заданным a и b построить вектор
a b D A B C K M 8. В параллелограмме ABCD точка M делит сторону DC так, что 3|CM|=|DM|, точка K делит диагональ AC так, что 5|AK|=2|KC|. Найти вектор , если и .

Векторная алгебра Вариант 6

1. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (2a–3b)(a–2b), б) |(2a–3b)(a–2b)|,

где |a|=4, |b|=3, a^b=/3.

2. Найти косинус угла между стороной BC и медианой CM треугольника ABC, если и .

3. Найти площадь треугольника abc, если и .

4. Найти объем пирамиды abcd, если , и .

5. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (5;4;1), b = (–3;5;2), c = (2;–1;3), d = (7;23;4).

6. Коллинеарны ли векторы c₁=–2a+3b c₂=3a+b если a={–9;3;–24} и b={6;–2;16}.

a b C 7. По двум заданным a и b построить вектор
a b A B K M D 8. В треугольнике ABC точка K делит сторону BC так, что 4|CK|=|KB|, точка M делит медиану AD так, что 2|DM|=5|MA|. Найти вектор , если и .