Производственная функция и ее свойства

Ранее было показано, что представление производственной системы в виде «черного ящика» предполагает установление связи между факторами производства и продуктом с помощью функциональной зависимости, называемой производственной функцией (ПФ). Существует строгое математическое определение ПФ: ПФ – это уравнение гиперповерхности эффективных технологических процессов, а именно - это непрерывная дифференцируемая функция v=f(u), описывающая множество эффективных технологических процессов. Другими словами эта функция однозначно определяет наибольший набор продуктов v, который может быть произведен для определенного набора факторов u.

Агрегирование наборов факторов и продуктов производства позволяет привести уравнение гиперповерхности к виду:

, то есть связь (эффективное преобразование) между агрегированными факторами производства и единственным продуктом.

Отметим, что под агрегированием понимают операции укрупнения (суммирования) объемов факторов и продуктов, если они являются однородными товарами, либо стоимостное соизмерение разнородных товаров (индексы в статистике!). Также ПФ могут определены для систем различных масштабов – от производственных участков до мировой экономики. Вопросы получения различных видов математических зависимостей в ПФ основаны на эконометрике и регрессионном анализе. Фактически речь идет о построении простых или множественных уравнений регрессии.

Так, распространенной в анализе производственных процессов является производственная функция, связывающая объем выпуска единственного продукта (Y) с агрегированными факторами труда (L) и капитала (К) за определенный период времени: Y = f(L,K).

Отметим, что с точки зрения управленческого учета затраты труда представляют переменные издержки, а затраты капитала – постоянные издержки производства. Поэтому в краткосрочном периоде система производства может изменять только затраты труда, но не может изменить затраты капитала. Следовательно, изменение обоих факторов возможно только в долгосрочном периоде.

Рассмотрим общие свойства ПФ:

1. при x_i=0 для любых

Это свойство означает (аналогично первому свойству технологических множеств), что при отсутствии затрат одного из факторов производства производится нулевой продукт, то есть не существует факторов – абсолютных субститутов. То есть возможно лишь частичное замещение одного фактора другим, а не полное. Для двухфакторной ПФ соответственно это свойство будет означать: f(L,0)=0 и f(0,K)=0.

2. для всех

Фактически это свойство означает, что производительность любой системы ограничена сверху, то есть при увеличении затрат факторов количество производимого продукта будет расти, а после достижения некоторого критического значения будет падать. Критические значения и задают границу экономической области, выход из которой приводит к снижению производительности системы при дальнейшем росте факторов производства. Следовательно, на границе экономической области существуют такие точки, в которых .(??), а количество производимого продукта при увеличении факторов производства будет расти внутри экономической области.

3. для всех

Это свойство означает вогнутость ПФ, а с экономической точки зрения оно выражает закон убывания предельной эффективности производства продукта при увеличении затрат факторов (см. закон убывания предельной полезности в модели потребителя).

4. - это свойство характеризует линейную однородность ПФ, то есть при одновременном изменении количества затрат факторов в  раз, количество произведенного продукта изменится также в  раз.

Свойство линейной однородности позволяет также преобразовать ПФ в функцию одной переменной. Например, двухфакторную ПФ можно привести к однофакторной:

Или: или , где y – средняя производительность труда, к – фондовооруженность.

ПФ, которые обладают всеми приведенными выше свойствами, называют неоклассическими.

Рассмотрим подробнее свойства неоклассических ПФ.

Ранее было сформулировано положение о том, что ПФ строится на множестве эффективных технологических процессов. Математически эффективность производственного процесса определяется величиной среднего и предельного продуктов, произведенных при определенных затратах факторов производства.

Средний продукт i-го фактора производства – это есть отношение количества произведенного продукта к количеству затрачиваемого фактора x_i за период времени: . Для двухфакторной ПФ можно получить соотношения: и , что соответствует средней фондоотдаче (среднему количеству произведенного продукта единицей капитала) и средней производительности труда (среднему количеству произведенного продукта единицей труда). (Можно провести аналогию с моделированием потребителя). Понятие среднего продукта является подтверждением вогнутости ПФ: чем больше затраты по фактору, тем меньше средний продукт.

Предельный продукт фактора x_i – это дополнительный продукт, произведенный системой при затратах дополнительной единицы фактора x_i. Опять-таки, можно провести аналогию между понятиями предельный продукт и предельная полезность, качественная однородность этих понятий приводит к понятию первой частной производной продукта y по затратам фактора x_i как количественной мере оценки этой предельной величины:

, а для двухфакторной ПФ: и , что соответствует предельной фондоотдаче и предельной производительности труда (marginal product of capital, marginal product of labor). Опять-таки, предельные продукты факторов всегда меньше средних продуктов, что является следствием вогнутости ПФ.

Отношение предельного продукта к среднему дает коэффициент эластичности продукта по i-му фактору производства (аналогично коэффициенту эластичности функции спроса по доходу):

Для двухфакторной ПФ имеем:

и

Коэффициент эластичности продукта по i-му фактору показывает, на сколько процентов изменится количество произведенного продукта при увеличении затрат i-го фактора на один процент. Используя коэффициенты эластичности можно выразить предельный продукт через средний:

или (4.1)

Введение коэффициентов эластичности позволяет вычислить изменение выпуска продукта при одновременном изменении объемов затрачиваемых факторов:

Последнее свойство ПФ об однородности приводит также к понятию степени однородности ПФ, а именно:

, где δ – степень однородности ПФ. Неоклассическая ПФ является однородной ПФ со степенью однородности, равной единице. Такие функции называют также линейно-однородными.

В общем случае, для любой однородной дифференцируемой функции со степенью однородности δ справедлива теорема Эйлера:

. Эта теорема имеет важное экономическое значение, а именно, произведенный продукт может быть представлен как сумма вкладов каждого фактора в произведенный продукт.

Для двухфакторной ПФ, являющейся линейно-однородной (δ=1) теорема Эйлера приводит к:

.

Если бы двухфакторная ПФ не являлась бы линейно-однородной, то тогда справедливо соотношение:

, отсюда следует, что:

И в заключение обсуждения свойств ПФ рассмотрим, как влияет изменение масштаба производства на его эффективность.

Для этого вводятся понятия среднего и предельного продукта масштаба производства.

Средний продукт масштаба – это есть отношение продукта, полученного при увеличении факторов в  раз, к коэффициенту масштабирования :

Предельный продукт масштаба производства приблизительно равен частной производной продукта, полученного при увеличении факторов в  раз по коэффициенту масштабирования:

Так как коэффициент эластичности – это отношение предельного продукта к среднему, то коэффициент эластичности масштаба производства будет равен:

, то есть коэффициент эластичности масштаба производства всегда будет равен степени однородности ПФ.

И еще одно важное свойство E_: для любой однородной ПФ сумма коэффициентов эластичности продукта по факторам равна коэффициенту эластичности масштаба производства:

Анализ коэффициента эластичности масштаба производства позволяет выявить, что если E_>1, то укрупнение производства дает положительный эффект, так как такие производственные системы имею более высокую эффективность при увеличении масштабов производства. Если E_<1, то увеличение масштаба производства приведет к снижению его эффективности, но уменьшение масштаба в этом случае даст повышение производительности системы. Для линейно-однородных ПФ изменение масштабов производства приводит всегда к пропорциональному изменению продукта, то есть производство инвариантно к изменению масштаба.