2. Качественный анализ: определение состояний равновесия и траекторий.

Из всего качественного анализа рассмотрим проблему определения точек равновесия на фазовой плоскости (т.е. равновесий системы ОДУ 2-го порядка, не обязательно линейной) и изучим характер движения в окрестности точки равновесия. Эта проблема имеет фундаментальное значение в теории устойчивости (да и в теории самоорганизации – синергетике [7]). Используем при этом результаты п. 4.

Пусть теперь система ОДУ 2-го порядка имеет вид:

f и g – известные (нелинейные) функции от x и y.

Для нахождения состояний равновесия в системе (в них ) надо решить систему нелинейных алгебраических уравнений:

Пусть (x^*, y^*) – одно из решений этой системы (вообще говоря, решений может быть несколько). Пара чисел (x^*, y^*) определяет координаты особой точки в фазовом пространстве – точки равновесия. Точки равновесия могут быть нескольких типов, в системах ОДУ 2-го порядка возможны 6 типов таких точек.

Чтобы определить тип точки и, тем самым, поведение фазовых траекторий в её окрестности, линеаризуем систему. Для этого в окрестности точки равновесия переменные состояния представим «в отклонениях», в виде:

Разложив их в ряд Тэйлора и подставим в исходную систему, учтя при этом, что (x^*, y^*) – постоянные и, значит, их производные равны нулю:

,

где

Правые части системы содержат первые три члена в разложении функций f(x,y) и g(x,y) в ряд Тэйлора. Мы пренебрегли слагаемыми рядов второго и более высоких порядков, учли, что (x^*, y^*) – точка равновесия и, следовательно, f(x^*, y^*) = g(x^*, y^*) = 0.

Получается таким образом система линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка («в отклонениях», «в дельтах»).

Она аналогична рассмотренной в п. 4 системе, но вместо x и y – их отклонения ∆x и ∆y:

Процедура решения совершенно аналогична показанной выше, в п. 4.

Тип особой точки (x^*, y^*) определяется корнями уравнения .

Различным типам соответствуют различные «режимы движения», т.е. типы фазовых траекторий.

Таких режимов, как отмечалось, имеется 6 типов, в окрестности каждой точки равновесия – свой, единственный режим.

1. Корни p₁ и p₂ – действительные отрицательные числа, особая точка – устойчивый узел. Точки на фазовых траекториях приближаются к положению равновесия.

2. p₁ и p₂ – действительные положительные числа, особая точка – неустойчивый узел. Точка на фазовой траектории удаляется от положения равновесия.

3. p₁ и p₂ – комплексные числа с отрицательной действительной частью; особая точка – устойчивый фокус. Точка на фазовой траектории совершает затухающие (во времени) колебания и асимптотически приближается к положению равновесия.

4. p₁ и p₂ – комплексные числа с положительной действительной частью; особая точка – неустойчивый фокус. Точка на фазовой траектории совершает колебания возрастающей амплитуды и удаляется от положения равновесия.

5. p₁ и p₂ – действительные числа, имеющие разные знаки; особая точка – седло, это неустойчивый режим. При отклонении от положения равновесия система начинает удаляться в заданном направлении. За исключением точек на прямой AB, двигаясь по которой система бесконечно приближается к особой точке:

• OA и OB – устойчивые многообразия седла,

• OC и OD – неустойчивые многообразия.

6. p₁ и p₂ – чисто мнимые числа; особая точка – центр. Наблюдаются незатухающие колебания, фазовая траектория системы в линейном приближении представляет собой эллипс, в общем случае – замкнутую кривую вокруг точки (x^*, y^*). Положение равновесия устойчиво, но не асимптотически устойчиво.

Фазовые траектории, соответствующие этим режимам, показаны на рисунках 1…6 [7].

Рисунок 1 – Тип особой точки «Устойчивый узел»	Рисунок 2 – Тип особой точки «Неустойчивый узел»
Рисунок 3 – Тип особой точки «Устойчивый фокус»	Рисунок 4 – Тип особой точки «Неустойчивый фокус»
Рисунок 5 – Тип особой точки «Седло»	Рисунок 6 – Тип особой точки «Центр»

На рисунках 1…6 начало координат помещено в особую точку (x^*, y^*), т.е. или . Оси x₁, x₂ на рисунках соответствуют переменным состояния x и y в системе уравнений.

Что касается динамических систем более высокого порядка, то лишь отметим следующее.

Уже у автономных нелинейных систем 3-го порядка (систем из трёх ОДУ, с трёхмерным фазовым пространством) возможны наряду с движениями, аналогичными показанным выше, и хаотические движения в окрестности притягивающей области фазового пространства, так называемого «странного аттрактора». Это явление носит название «детерминированный хаос». Оно открыто сравнительно недавно – во второй половине XX-го века (модель Лоренца, 1963 г., затем другие). Ранее считалось, что в динамических системах хаотические движения возможны лишь под влиянием внешних случайных воздействий. Детерминированный хаос показывает, что хаотическое (т.е. неотличимое от случайного) поведение динамической системы (даже очень простой) может быть обусловлено её внутренними свойствами. Это открытие имеет важное общенаучное значение и многочисленные практические применения, в том числе и в информационных технологиях. Нелинейные явления в точечных и распределённых системах изучаются новой наукой – синергетикой.

Что касается нелинейных динамических систем более высоких порядков, то основным методом их изучения является компьютерный эксперимент (лекция 5).