18.3.2. Тригонометрические ряды (ряды Фурье) периодической функции периода .

Тригонометрическим рядом называется ряд вида

.

Условия сходимости этого ряда мы сформулируем дальше, сейчас предположим, что этот ряд сходится в любой точке, и что его сумма равна . Очевидно, что - периодическая функция периода (как сумма периодических функций). Выразим коэффициенты ряда через функцию . Умножая скалярно равенство на 1, получим

. Так как , , то все слагаемые в сумме равны нулю, поэтому , или . Умножим то же равенство скалярно на , в результате . Здесь равны нулю все скалярные произведения, кроме скалярного квадрата функции (в сумме при ), поэтому .

Умножая равенство на , получим . Окончательно

.

(параметр переобозначен ).

Таким образом, если периодическая функция периода является суммой тригонометрического ряда, то коэффициенты этого ряда выражаются через функцию полученными формулами.

18.3.3. Условия Дирихле. Теорема Дирихле. Поставим обратный вопрос. Предположим, что для функции , имеющей период , вычислены коэффициенты по формулам , и составлен ряд Фурье . Будет ли этот ряд сходиться? Будет ли его сумма равна ?

Ответы на эти вопросы даёт теорема Дирихле.

Пусть функция периода удовлетворяет следующим условиям:

1. непрерывна на интервале всюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода (т.е точек, в которых существуют конечные пределы слева и справа , не равные друг другу);

2. Имеет на этом интервале конечное число экстремумов.

Тогда ряд Фурье сходится в каждой точке отрезка . Его сумма равна

в точках непрерывности этой функции;

в точках разрыва этой функции;

в точках .

Условия 1-2 принято называть условиями Дирихле.

18.3.4. Примеры разложения функций в ряд Фурье.

1. .

Мы пишем , подразумевая, что это верно на интервале ; вне этого интервала функция периодически повторяется с периодом .

Решение. Вычисляем коэффициенты Фурье: ; ; .

Итак,

.

На рисунке слева изображён процесс приближения частичных сумм ряда к при небольших количествах слагаемых. Приведены графики , и

. Приближение частичных сумм при изображено на рисунке ниже. Здесь приведены графики сумм .

2. . Здесь ;

; .

Итак,

.

Графики частичных сумм , и , вместе с графиком функции , периодически повторяющейся вдоль оси Ох, приведены на рисунке справа.

3.

;

;

.

Ниже приведены графики функции и частичных сумм с небольшим количеством слагаемых (левый рисунок - ) и с бóльшим количеством (правый рисунок - ).

Интересно более подробно проследить поведение частичных сумм вблизи точек разрыва, где сумма ряда равна полусумме пределов слева и справа . На графиках внизу на левом рисунке показаны частичные суммы на отрезке , на правом - на отрезке . Если в точках непрерывности приближение происходит за счёт уменьшения амплитуды осцилляций, то вблизи точек разрыва амплитуда осцилляций остаётся постоянной, сужается только зона этих осцилляций, стремясь к нулю при . Таким образом, на частичных суммах даже при очень больших n имеется зона болтанки; это явление, называемое явлением Гиббса, иногда очень мешает при решении прикладных задач.

18.3.5. Коэффициенты ряда Фурье чётных и нечётных функций. Если - чётная функция, то произведение - функция нечётная, и по известному свойству определённого интеграла от нечётной функции, . Мы проверили это на примере функции . Произведение в этом случае - функция чётная, поэтому . Итак, для чётных функций .

Если - нечётная функция, то произведение - функция нечётная, поэтому . Произведение - функция чётная, поэтому . Итак, для нечётных функций .

18.3.6. Разложение функций, заданных на полупериоде, в неполный ряд Фурье. Выше мы разлагали в ряд Фурье периодические функции; при этом для вычисления коэффициентов мы использовали значения функции на отрезке . Можно считать, что задана только на этом отрезке, тогда, если удовлетворяет условиям Дирихле, то её ряд Фурье вне этого отрезка сходится к функции, получающейся из периодическим повторением вдоль оси Ох.

Теперь будем считать, что задана на отрезке и удовлетворяет условиям Дирихле (на рисунке изображена жирной сплошной линией). Мы можем разложить эту функцию в ряд по синусам, вычислив коэффициенты по формулам и полагая . Такое разложение имеют нечётные функции, определённые на интервале , поэтому в действительности мы разложили в ряд нечётную функцию, доопределённую на интервале соотношением (на рисунке - жирный пунктир); эту функцию называют нечётным продолжением . Ряд сходится к этой функции во всех точках непрерывности на всём интервале ; следовательно, он сходится к на . Вне интервала ряд сходится к периодической функции, получающейся переносом периода вдоль оси Ох (тонкие линии на рисунке).

Мы можем также разложить функцию , заданную на отрезке , в ряд по косинусам, вычислив коэффициенты по формулам и полагая . Это будет разложение функции, продолженной на интервал чётным образом в соответствии с соотношением .

Примеры. 4. Разложить функцию в ряд по синусам.

Решение. . Итак, при . На рисунке справа приведены графики и .

5. Разложить ту же функцию в ряд по косинусам.

Решение. . .

при . На рисунке приведены графики и .

16.3.7. Ряд Фурье функций периода . Пусть теперь требуется разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале . Сделаем линейную замену независимой переменной . Если , то . В результате функция определена на интервале , и мы можем разложить её в ряд Фурье , где Вернёмся в этих формулах к переменной х: , , .

Сам ряд Фурье после перехода к переменной х запишется так: .

Если - нечётная функция, то её разложение не будет содержать косинусов: , где . Соответственно, если - чётная функция, то её разложение не будет содержать синусов: , где .

Примеры. 6. Разложить в ряд Фурье функцию

Функция определена на периоде , не является ни чётной, ни нечётной, поэтому её ряд будет полным. Вычисляем коэффициенты: .

Ответ:

На рисунке справа приведены графики и .

7. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию, заданную на интервале : .

Решение. . Итак, .

Графики одного полупериода функции и приведены на рисунке. Ряд сходится к функции, получающейся нечётным продолжением и периодическим повторением вдоль оси Ох.

105