Занятие №5. Тема: Дискретные и непрерывные случайные величины и их числовые характеристики.

Основные формулы:

Дискретные случайные величины:

1. Математическое ожидание: .

2. Дисперсия: .

3. Среднее квадратическое: .

Непрерывные случайные величины:

1. или .

2. Математическое ожидание: .

3. Дисперсия: , или

.

4. Среднее квадратическое: .

1. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение ДСВ X, заданной законом распределения:

X	-5	2	3	4
p	0,4	0,3	0,1	0,2

Построить многоугольник распределения.

3. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение ДСВ Z = 3X + 2Y, если ДСВ X и Y заданы законами распределения:

X	4,3	5,1	10,6		Y	131	140	160	180
p	0,2	0,3	0,5		p	0,05	0,1	0,25	0,6

4. Дан перечень возможных значений ДСВ X: , а так же известны , . Найти вероятности, соответствующие возможным значениям X. Составить закон распределения ДСВ.

5. ДСВ X имеет только два возможных значения: и , причем . Вероятность того, что X примет значение , равна 0,2. Найти закон распределения X, зная, что .

6. ДСВ X имеет только два возможных значения: и , причем . Вероятность того, что X примет значение , равна 0,6. Найти закон распределения X, зная, что .

7. Случайная величина X задана функция распределения: .

Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключенное в интервале .

8. НСВ X задана плотностью распределения в интервале ; вне этого интервала . Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу .

9. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение НСВ X, заданной функцией распределения

.

10. НСВ X задана интегральной функцией . Найти дифференциальную функцию , математическое ожидание, дисперсию величины X, построить график функции .

11. НСВ X задана плотностью распределения в интервале ; вне этого интервала . Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение НСВ X.

Занятие №6. Тема: Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях. Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях.

Основные формулы:

1. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях: .

2. Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях: .

1. Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклониться от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,04.

2. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,5. Найти число испытаний n, при котором с вероятностью 0,7698 можно ожидать, что относительная частота появления события отклониться от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.

3. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти наименьшее число испытаний n, при котором с вероятностью 0,99 можно ожидать, что относительная частота появления события отклониться от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,04.

4. Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,5. Найти такое положительное число , чтобы с вероятностью 0,77 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности 0,5 не превысила .

5. Отдел технического контроля проверяет на стандартность 900 деталей. Вероятность того, что деталь стандартная, равна 0,9. Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет заключено число m стандартных деталей среди проверенных.

6. Отдел технического контроля проверяет 475 изделий на брак. Вероятность того, что изделие бракованное, равна 0,05. Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет заключено число m бракованных изделий среди проверенных.

7. Отдел технического контроля проверяет партию из 10 деталей. Вероятность того, что деталь стандартная, равна 0,75. Найти наивероятнейшее число деталей, которые будут признаны стандартными.

8. Товаровед осматривает 24 образца товаров. Вероятность того, что каждый из образцов будет признан годным к продаже, равна 0,6. Найти наивероятнейшее число образцов, которые товаровед признает годными к продаже.

9. Сколько надо произвести независимых испытаний с вероятностью появления события в каждом испытании, равной 0,4, чтобы наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях было равно 25?

10. Чему равна вероятность р наступления события в каждом из 39 независимых испытаний, если наивероятнейшее число наступлений события в этих испытаниях было равно 25?

11. Батарея произвела шесть выстрелов по объекту. Вероятность попадания в объект при одном выстреле равна 0,3. Найти: а) наивероятнейшее число попаданий; б) вероятность наивероятнейшего числа попаданий;

в) вероятность того, что объект будет разрушен, если для этого достаточно хотя бы двух попаданий.

12. Прибор состоит из пяти независимо работающих элементов. Вероятность отказа элемента в момент включения прибора равна 0,2. Найти:

а) наивероятнейшее число отказавших элементов; б) вероятность наивероятнейшего числа отказавших элементов; в) вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказали хотя бы четыре элемента.