Примеры решения задач

1. Движение тела массой 1 кг задано уравнением . Найти зависимость скорости и ускорения от времени. Вычислить силу, действующую на тело в конце второй секунды.

Решение. Мгновенную скорость находим как производную от пути по времени:

.

Мгновенное ускорение определяемся первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени:

Сила, действующая на тело, определяется по второму закону Ньютона: F=ma, где а, согласно условию задачи, - ускорение в конце второй секунды. Тогда

Ответ:

2. Стержень длиной 1 м движется мимо наблюдателя со скоростью 0,8 с. Какой покажется наблюдателю его длина?

Дано: ℓ_о= 1 м; ν = 0,8 с.

Найти: ℓ.

Решение. Зависимость длины тела от скорости в релятивистской механике выражается формулой

(1)

где ℓ_о - длина покоящегося стержня; ν - скорость его движения; с - скорость света в вакууме. Подставляя в формулу (1) числовые значения имеем

Ответ: ℓ = 0,6 м..

3. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями;: 1) =0,5с и u=0,75с; 2) ν=с и u=0,75с. Найти их относительную скорость в первом и втором случаях.

Дано: 1) =0,5с, и = 0,75с; 2) =с, u = 0,75с.

Найти:

Решение. Согласно теореме сложения скоростей в теории относительности,

где ν, u - скорости соответственно первой и второй частиц; и'- их относительная скорость; с - скорость света в вакууме. Для первого и второго случаев находим:

Это означает, что, во-первых, ни в какой инерциальной системе отсчета скорость процесса не может превзойти скорость света, и, во-вторых, скорость распространения света в вакууме абсолютна.

Ответ:

4. На двух шнурах одинаковой длины, равной 0,8 м, подвешены два свинцовых шара массами 0,5 и 1 кг. Шары соприкасаются между собой. Шар меньшей массы отвели в сторону так, что шнур отклонился на угол  = 60°, и отпустили. На какую высоту поднимутся оба шара после столкновения? Удар считать центральным и неупругим. Определить энергию, израсходованную на деформацию шаров при ударе.

Дано: m = 0,5 кг; m₂=1 кг; α = 60°; ℓ=0,8 м.

Найти: h₁; ∆E_g.

Решение. Так как удар шаров неупругий, то после удара они будут двигаться с общей скоростью ν. Закон сохранения импульса при этом ударе имеет вид

(1)

Здесь ₁ и ν₂ - скорости шаров до удара. Скорость большого шара до удара равно нулю (₂=0). Скорость меньшего шара найдем, используя закон сохранения энергии. При отклонении меньшего шара на угол α ему сообщается потенциальная энергия, которая затем переходит в кинетическую: . Таким образом, , поэтому

(2)

Из уравнений (1) и (2) находим скорость шаров после удара:

(3)

Кинетическая энергия, которой обладают после удара, переходит в потенциальную:

,

Где h – высота поднятия шаров после столкновения. Из формулы (4) находим , или с учетом (3),

;

.

При неупругом ударе шаров часть энергии расходуется на их деформацию. Энергия деформации определяется разностью кинетических энергий до и после удара:

.

Используя уравнения (2) и (3), получаем

;

.

Ответ: ; .

5. Молот массой 70 кг падает с высоты 5м и ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе с изделием 1330 кг. Считая удар абсолютно неупругим, определить энергию, расходуемую на деформацию изделия. Систему «молот – изделие – наковальня» считать замкнутой.

Дано: ; ; .

Найти:

Решение. По условию задачи, система «молот – изделие – наковальня» считается замкнутой, а удар неупругим. На основании закона сохранения энергии можно считать, что энергия, затраченная на деформацию изделия, равна разности значений механической энергии системы до и после удара.

Считаем, что во время удара изменяется только кинетическая энергия тел, т.е. незначительным перемещением тел по вертикали во время удара пренебрегаем. Тогда для энергии деформации изделия имеем

,

Где - скорость молота в конце падения с высоты h; -общая скорость всех тел системы после неупругого удара. Скорость молота в конце падения с высоты h определяется без учета сопротивления воздуха и трения по формуле

.

Общую скорость всех тел системы после неупругого удара найдем, применив закон сохранения импульса:

.

Для рассматриваемой системы закон сохранения импульса имеет вид , откуда

.

Подставив в формулу (1) выражения (2) и (4), получим

;

Ответ: .

6. Тело массой 1 кг под действием постоянной силы движется прямолинейно. Зависимость пути, пройденного телом, от времени задана уравнением . Определить работу силы за 10 с с начала ее действия и зависимость кинетической энергии от времени.

Дано: ;

Найти: А, Т=f(t).

Решение. Работа, совершаемая силой, выражается через криволинейный интеграл

.

Сила, действующая на тело, по второму закону Ньютона равна

, или .

Мгновенное значение ускорения определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени. В соответствии с этим находим

;

.

Тогда

Из выражения (3) определим ds:

.

Подставив (5) и (6) в уравнение (1), получим

.

По этой формуле определим работу, совершаемую силой за 10 с с начала ее действия:

.

Кинетическая энергия определяется по формуле

Подставляя (3) в (7), имеем

.

Ответ: ; .

7. Какую скорость нужно сообщить ракете, чтобы на, стартовав с Земли, не вернулась на Землю? Сопротивление атмосферы не учитывать.

Дано: ; ; .

Найти: .

Решение. С удалением ракеты от Земли будет увеличиваться ее потенциальная энергия и уменьшаться кинетическая. По закону сохранения энергии,

,

Где m-масса ракеты; М- масса Земли; G – гравитационная постоянная; и - скорости ракеты относительно Земли в начальный и рассматриваемый моменты; и R – расстояния от центра Земли до ракеты в начальный и рассматриваемый моменты времени; - потенциал гравитационного поля Земли на расстоянии R от ее центра.

После преобразования уравнения (1) имеем .

Ракета не вернется на Землю, если ее скорость ν будет в бесконечности равна нулю, т.е. при . В этом случае .

Из закона всемирного тяготения следует, что поверхности Земли , откуда

,

где g- ускорение свободного падения. Подставим (2) в (3):

или .

Считая, что ракета приобретает нужную скорость ν₀ уже вблизи поверхности Земли, находим

.

Такая скорость необходима для преодоления гравитационного поля Земли. Она называется второй космической или параболической скоростью.

Ответ: .

8. Тонкий стержень массой 300 г и длиной 50 см вращается с угловой скоростью 10 с^-1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Найти угловую скорость, если в процессе вращения в той же плоскости стержень переместится так, что ось вращения пройдет через конец стержня.

Дано: .

Найти: .

Решение. Используем закон сохранения момента импульса

,

Где J_i – момент инерции стержня относительно оси вращения.

Для изолированной системы тел векторная сумма моментов импульса остается постоянной. В данной задаче вследствие того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется, момент инерции стержня также изменится. В соответствии с (1) запишем

.

Известно, что момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню, равен

.

По теореме Штейнера,

,

где J – момент инерции тела относительно произвольной оси вращения; J₀ – момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс; d – расстояние от центра масс до выбранной оси вращения.

Найдем момент инерции относительно оси, проходящей через конец стержня и перпендикулярно ему:

; .

Подставляя, формулы (3) и (4) в (2), имеем:

,

Откуда

, .

Ответ: .

9. Маховик массой 4 кг вращается с частотой 720 мин^-1 вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр. Массу маховика можно считать равномерно распределенной по его ободу радиусом 40 см. Через 30 с под действием тормозящего момента маховик остановился. Найти тормозящий момент и число оборотов, которое сделает маховик до полной остановки.

Дано: ω=0; m=4 кг; n=720 мин^-1=12c^-1; ; .

Найти: М; N.

Решение. Для определения тормозящего момента М сил, действующих на тело, нужно применить основное уравнение динамики вращательного движения:

,

где J- момент инерции маховика относительно оси, проходящей через центр масс; - изменение угловой скорости за промежуток времени .

По условию, , где - начальная угловая скорость, так как конечная угловая скорость . Выразим начальную угловую скорость через частоту вращения маховика, тогда и . Момент инерции маховика , где m- масса маховика; R- его радиус. Формула (1) принимает вид

,

Откуда

.

Угол поворота (т.е. угловой путь φ) за время вращения маховика до остановки может быть определен по формуле для равнозамедленного вращения:

,

где - угловое ускорение.

По условию, , , . Тогда выражение (2) можно записать так:

.

Так как , , то число полных оборотов

; .

Ответ: .

10. В сосуде объемом 2 м² находится смесь 4 кг гелия и 2 кг водорода при температуре 27⁰С. Определить давление и молярную массу смеси газов.

Дано: V=2м³; m₁=4кг; М₁=410^-3 кг/моль; m₂=2кг; М₂ =210^-3 кг/моль; Т=300К.

Найти: р; М.

Решение. Воспользуемся уравнением Клайперона – Менделеева, применив его к гелию и водороду:

;

,

Где р₁- парциальное давление гелия; М₁ – его молярная масса; V – объем сосуда; Т-температура газа; R=8,31 Дж/(мольК) – молярная газовая постоянная; p₂ –парциальное давление водорода; m₂- масса водорода; М₂ – его молярная масса. Под парциальным давлением р₁ и р₂ понимают то давление, которое производил бы газ, если бы он один находился в сосуде. По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси:

. (3)

Из уравнений (1) и (2) выразим р₁ и р₂ и подставим в уравнение (3). Имеем

. (4)

Молярную массу смеси газов найдем по формуле

,

где v₁ и v₂ – число молей гелия и водорода соответственно. Число молей газов определим по формулам:

;

.

Подставляя (6) и (7) в (5), найдем

.

Подставляя числовые значения в формулы (4) и (8), получаем

.

.

Ответ: р=2493 кПа; М=310^-3кг/моль.

11. Чему равны средние значения кинетической энергии поступательного и вращательного движений молекул, содержащихся в 2 кг водорода при температуре 400 К?

Дано: m=2 кг; Т=400К; М=210^-3 кг/моль.

Найти: ; .

Решение. Считаем водород идеальным газом. Молекула водорода – двухатомная, связь между атомами считаем жесткой. Тогда число степеней свободы молекулы водорода равно 5. В среднем на одну степень свободы приходится энергия , где k – постоянная Больцмана; Т- термодинамическая температура. Поступательному движению приписываются три (i=3), а вращательному две (i=2) степени свободы. Энергия одной молекулы

; .

Число молекул, содержащихся в массе газа,

,

Где ν – число молей; N_А – постоянная Авогадро. Тогда средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул водорода

, (1)

Где R=kN_A – молярная газовая постоянная.

Средняя кинетическая энергия вращательного движения молекул водорода

.

Подставляя числовые значения в формулы (1) и (2), имеем

Ответ: ; .

12. Определить среднюю длину свободного пробега молекул и число соударений за 1 с, происходящих между всеми молекулами кислорода, находящегося в сосуде вместимостью 2 л при температуре 27⁰ С и давлении 100 кПа.

Дано: ; .

Найти: .

Решение. Среднюю длину свободного пробега молекул кислорода вычисляют по формуле

,

где d- эффективный диаметр молекулы кислорода; n- число молекул в единице объема, которое можно определить из уравнения

, (2)

Где k- постоянная Больцмана. Подставляя (2) в (1), имеем

Число соударений Z, происходящих между всеми молекулами за 1с, равно

, (4)

Где N- число молекул кислорода в сосуде объемом - среднее число соударений одной молекулы за 1 с. Число молекул в сосуде

(5)

Среднее число соударений молекулы за 1 с

, (6)

Где - средняя арифметическая скорость молекулы

.

Подставляя в (4) выражения (5), (6) и (7), находим

.

Подставляя числовые значения, получим

Ответ: , .

13. Определить коэффициенты диффузии и внутреннего трения азота, находящегося при температуре Т=300 К и давлении 10⁵ Па.

Дано: ; ; .

Найти: .

Решение. Коэффициент диффузии определяется по формуле

,

где - средняя арифметическая скорость молекул, равная

; (2)

- средняя длина свободного пробега молекул. Для нахождения воспользуемся формулой из примера 11:

. (3)

Подставляя (2) и (3) в выражение (1), имеем

(4)

Коэффициент внутреннего трения

,

где ρ- плотность газа при температуре 300 К и давлении 10⁵ Па.

Для нахождения ρ воспользуемся уравнением состояния идеального газа. Запишем его для двух состояний азота – при нормальных условиях , и при заданных условиях:

; (6)

Учитывая, что , , имеем

(7)

Коэффициент внутреннего трения газа может быть выражен через коэффициент диффузии (см. формулы (1) и (5)):

(8)

Подставляя числовые значения в (4) и (8), получим

;

.

Ответ: , .

14. Кислород массой 160 г нагревают при постоянном давлении от 320 до 340 К. Определить количество теплоты, поглощенное газом, изменение внутренней энергии и работу расширения газа.

Дано: , , .

Найти: Q; ; А.

Решение. Количество теплоты, необходимое для нагревания газа при постоянном давлении

. (1)

Здесь с_р и -удельная и молярная теплоемкости газа при постоянном давлении; -молярная масса кислорода. Для всех двухатомных газов

; .

Изменение внутренней энергии газа находим по формуле

, (2)

Здесь с_р и С_р=Мс_р –удельная и молярная теплоемкости газа при постоянном давлении; - молярная масса кислорода. Для всех двухатомных газов

; .

Изменение внутренней энергии газа находим по формуле

,

Где С_V –молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Для всех двухатомных газов

; .

Работа расширения газа при изобарном процессе , где - изменение объема газа, которое можно найти из уравнения Клайперона –Менделеева. При изобарном процессе

; (3)

(4)

Почленным вычитанием выражения (3) и (4) находим

,

Следовательно,

. (5)

Подставляя числовые значения в формулы (1), (2) и (5), получаем:

;

;

.

Ответ: .

15. Объем аргона, находящегося при давлении 80 кПа, увеличился от 1 до 2 л. Насколько изменится внутренняя энергия газа, если расширение происходило: а) изобарно; б) адиабатно.

Дано: ; ; .

Найти: .

Решение. Применим первый закон термодинамики. Согласно этому закону, количество теплоты Q, переданное системе, расходуется на увеличение внутренней энергии и на внешнюю механическую работу А:

. (1)

Величину можно определить, зная массу газа m, удельную теплоемкость при постоянном объеме и изменение температуры :

(2)

Однако удобное изменение внутренней энергии определять через молярную теплоемкость С_V, которая может быть выражена через число степеней свободы:

. (3)

Подставляя величину с_v из формулы (3) в (2), получаем

(4)

Изменение внутренней энергии зависит от характера процесса, при котором идет расширение газа. При изобарном расширении газа, согласно первому закону термодинамики, часть количества теплоты идет на изменение внутренней энергии , которая выражается формулой (4). Найти для аргона по формуле (4) нельзя, так как масса газа и температура в условии задачи не даны. Поэтому необходимо провести преобразование формулы (4).

Запишем уравнение Клайперона –Менделеева для начального и конечного состояний газа:

; ,

или

(5)

Подставив (5) в формулу (4), получим

(6)

Это уравнение является расчетным для определения при изобарном расширении.

При адиабатном расширении газа теплообмена с внешней средой не происходит, поэтому . Уравнение (1) запишется в виде

(7)

Это соотношение устанавливает, что работа расширения газа может быть осуществлена только за счет уменьшения внутренней энергии газа (знак минус перед ):

(8)

Формула работы для адиабатного процесса имеет вид

, (9)

где γ – показатель степени адиабаты, равный отношению теплоемкостей: . Для аргона – одноатомного газа - имеем .

Находим изменение внутренней энергии при адиабатном процессе для аргона, учитывая формулы (8) и (9):

(10)

Для определения работы расширения аргона формулу (10) следует преобразовать, учитывая при этом параметры, данные в условии задачи. Применив уравнение Клайперона –Менделеева для данного случая: , получим выражение для подсчета изменения внутренней энергии:

(11)

Подставляя числовые значения в (6) и (11), имеем:

а) при изобарном расширении

;

б) при адиабатном расширении

.

Ответ: а) б) .

16. Температура нагревателя тепловой машины 500 К. Температура холодильника 400 К. Определить КПД тепловой машины, работающей по циклу Карно, и полную мощность машины, если нагреватель ежесекундно передает ей 1675 Дж теплоты.

Дано: ; .

Найти: .

Решение. Коэффициент полезного действия машины определяется по формуле

(1)

или

. (2)

Из выражений (2) и (10 находим

Вычислим:

;

.

Эта работа совершается за 1 с, следовательно, полная мащность машины 335 Вт.

Ответ: ; .

17. Горячая вода некоторой массы отдает теплоту холодной воде такой же массы и значения их температуры становятся одинаковыми. Показать, что энтропия при этом увеличивается.

Решение. Пусть температура горячей воды Т₁, холодной Т₂, а температура смеси Θ. Определим температуру смеси, исходя из уравнения теплового баланса

, или ,

откуда

(1)

Изменение энтропии, происходящее при охлаждении горячей воды,

Изменение энтропии, происходящее при нагревании холодной воды,

Изменение энтропии системы равно

,

или с учетом соотношения (1) имеем

.

Так как и , то .

18. Два одинаковых заряда находятся в воздухе на расстоянии 0,1 м друг от друга. Напряженность поля в точке, удаленной на расстояния 0,06 и 0,08 м от одного и другого зарядов, равна 10 кВ/м. Определить потенциал поля в этой точке и величину зарядов.

Дано: ; ; ; ; .

Найти: ; φ.

Решение. Напряженность Е и потенциал φ поля точечного заряда q определяется по формулам:

; ,

Где ε – диэлектрическая проницаемость среды; ε₀ – электрическая постоянная; r – расстояние от заряда до точки поля. Как видно из рис. 1 , так как .

Рис. 1

Откуда:

.

Определим потенциал:

Ответ:

19. Две параллельные плоскости одноименно заряжены с поверхностной плотностью зарядов 2 и 4 нКл/м². Определить напряженность поля: а) между плоскостями; б) вне плоскостей.

Дано: ;

Найти: и .

Решение. Как видно из рис. 2, в зазоре между плоскостями , так как направления векторов Е₁ и Е₂ противоположны. Тогда , где ε₀ – электрическая постоянная.

.

Рис. 2

В пространстве вне зазора между плоскостями векторы Е₁ и Е₂ совпадают по направлению. Поэтому

Ответ:

20. Заряд величиной 1 нКл переносится из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии 0,1 м от поверхности металлической сферы радиусом 0,1 м, заряженной с поверхностной плотностью 10^-5 Кл/м². Определить работу перемещения заряда.

Дано: ; ; ; .

Найти: А.

Решение. Потенциал поля , создаваемого заряженной сферой на расстоянии от ее центра, определяется по формуле:

,

где - заряд сферы; - электрическая постоянная.

Потенциал поля на расстоянии равен нулю: . Работа А по перемещению заряда q из бесконечности в точку поля равна:

.

Ответ: .

21. Конденсатор с парафиновым диэлектриком заряжен до разности потенциалов 150В. Напряженность в нем равна , площадь пластин 6 см². Определить емкость конденсатора и поверхностную плотность заряда на обкладках .

Дано: ; .

Найти: С и σ.

Решение. В плоском конденсаторе напряженность поля , где ε – диэлектрическая проницаемость среды, ε₀ – электрическая постоянная. Откуда

.

В плоском конденсаторе разность потенциалов U и напряженность Е связаны зависимостью , зазор между обкладками. Откуда . Емкость С плоского конденсатора определяется по формуле:

.

Ответ: ; .

22. Энергия плоского воздушного конденсатора 40 нДж, разность потенциалов на обкладках 600 В, площадь платин 1см².

Определить расстояние между обкладками, напряженность и объемную плотность энергии поля конденсатора.

Дано: ; ; ; .

Найти: в, Е, w.

Решение. Энергия конденсатора ; емкость конденсатора , следовательно, . Отсюда

.

Напряженность поля конденсатора

.

Объемная плотность энергии поля:

.

Ответ: ;

23. Плотность тока в никелиновом проводнике длиной 25 м равна 1 МА/м². Определить напряжение на концах проводника.

Дано: .

Найти: U.

Решение. По закону Ома в дифференциальной форме плотность тока j в проводнике пропорциональна напряженности Е поля в проводнике , где -удельная проводимость; -удельное сопротивление проводника. С другой стороны , где U- напряженность на концах проводника длиной ℓ. Тогда , откуда .

Ответ: .

24. Определить электродвижущую силу аккумуляторной батареи, ток короткого замыкания которой равен 10 А, если при подключении к ней резистора сопротивлением 2 Ом сила тока в цепи равна 1 А.

Дано:

Найти: ε.

Решение. По закону Ома и где r- внутреннее сопротивление батареи. При коротком замыкании цепи внешнее сопротивление и , откуда . Тогда или .

Ответ: .